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sexta-feira, 2 de setembro de 2016

Sistemas pela Regra de Cramer

Um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ser resolvido pelos seguintes métodos: adição e subtração. Os sistemas que apresentam três ou mais equações envolvendo três ou mais incógnitas também podem ser resolvidos pelos métodos enunciados. O problema fica por conta dos excessivos cálculos quando utilizamos esses métodos na resolução dos sistemas. Um método simples e prático consiste em relacionar os sistemas a matrizes quadradas e utilizar o método de Cramer.

A utilização do método de Cramer requer conhecimento sobre a determinação do determinante de uma matriz pelo método de Sarrus, que consiste na diferença entre a soma dos produtos dos elementos da matriz principal pela soma dos produtos dos elementos da matriz secundária. Observe como aplicar a regra de Sarrus, calculando o determinante da matriz A:

A utilização do método de Cramer requer conhecimento sobre o cálculo do determinante de uma matriz pelo método de Sarrus,

Reescrever a matriz A repetindo as duas colunas:

Soma dos produtos dos elementos da diagonal principal

2 * 3 * (–4) = –24
6 * 2 * 7 = 84
1 * 4 * 2 = 8

Total = – 24 + 84 + 8 = 68

Soma dos produtos dos elementos da diagonal secundária

1 * 3 * 7 = 21
2 * 2 * 2 = 8
6 * 4 * (–4) = – 96

Total = –96 + 21 + 8 = – 67

Subtração entre os resultados das diagonais

68 – (–67)
68 + 67
135

Dado o sistema de equações

, vamos aplicar a regra de Cramer na obtenção dos valores de x, y e z.

1º passo: calcular o determinante da matriz dos coeficientes numéricos do sistema.

Diagonal principal

2 * (–2) * (–4) = 16
1 * 3 * 3 = 9
(–1) * ( 1 ) * 4 = – 4
Soma = 21

Diagonal secundária

(–1) * (–2) * 3 = 6
2 * 3 * 4 = 24
1 * 1 * (–4) = – 4
Soma = 26

Diferença entre as diagonais

21 – 26 = – 5

D = –5

2º passo: calcular o determinante da matriz Dx, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de x pela coluna dos elementos constantes do sistema.

Diagonal principal

3 * (–2) * (–4) = 24
1 * 3 * 2 = 6
(–1) * 9 * 4 = – 36
Soma = – 6

Diagonal secundária

(–1) * (–2) * 2 = 4
3 * 3 * 4 = 36
1 * 9 * (–4) = –36
Soma = 4

Diferença entre as diagonais

– 6 – 4
Dx = – 10

3º passo: calcular o determinante da matriz Dy, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de y pela coluna dos elementos constantes do sistema.

Diagonal principal

2 * 9 * (–4) = – 72
3 * 3 * 3 = 27
(–1) * 1 * 2 = – 2
Soma = –47

Diagonal secundária

(–1) * 9 * 3 = – 27
2 * 3 * 2 = 12
3 * 1 * (–4) = –12
Soma: –27

Diferença entre as diagonais

– 47 – ( – 27)
– 47 + 27
Dy = – 20

4º passo: calcular o determinante da matriz Dz, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de z pela coluna dos elementos constantes do sistema.

Diagonal principal

2 * (–2) * 2 = – 8
1 * 9 * 3 = 27
3 * 1 * 4 = 12
Soma = 31

Diagonal secundária

3 * (–2) * 3 = – 18
2 * 9 * 4 = 72
1 * 1 * 2 = 2
Soma = 56

Diferença entre as diagonais

31 – 56
Dz = – 25

Os valores de x, y e z são calculados segundo a seguinte relação:

O conjunto solução do sistema , de acordo com regra de Cramer, é:

S = {x = 2, y = 4 e z = 5}

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