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sexta-feira, 2 de setembro de 2016

Matriz transposta e matriz simétrica

Matriz transposta e matriz simétrica

Marcelo Rigonatto




Transposta de uma matriz
Considere uma matriz A =(aij)(m x n). A matriz transposta de A, representada por At, é uma matriz da forma At = (bji)(n x m), tal que:
bji = aij

Observe que a matriz A é de ordem m x n, enquanto At é de ordem n x m. Essa “inversão” das ordens das duas matrizes se deve ao fato de que para obter a transposta de A devemos “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. De forma simples, é isso o que diz a definição de transposta de uma matriz.

Vejamos alguns exemplos para melhor entendimento.

Exemplo 1. Determine a matriz transposta de cada uma das seguintes matrizes.

Solução: Para obter a transposta de A, basta “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:

Solução: “Transformando” linha em coluna, obtemos:

Solução: Nesse caso, teremos:


Solução: “Transformando” as linhas em coluna, obtemos:

Matriz Simétrica.

Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é simétrica quando ela for igual à sua transposta. Ou seja, A é denominada simétrica se:

A = At
Observe que somente matrizes quadradas podem ser simétricas.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2. Determine a transposta de cada matriz a seguir:

Solução: A transposta de M será obtida “transformando” cada linha de M em coluna. Assim, teremos:

Como M = Mt, dizemos que M é uma matriz simétrica.

Solução: Vamos obter a transposta de A transformando cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:

Como A = At, dizemos que A é uma matriz simétrica.

Solução: A transposta de G será a matriz:

Nesse caso, apesar da matriz G ser quadrada de ordem 2, ela não é igual à sua transposta, portanto não é uma matriz simétrica.

Observação: É fácil notar que (At)t = A.

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