Relações de Girard nas equações do 3º e do 4º grau

As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.

As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. A decomposição dessa equação permite a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação. Observe:

ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) – x1*x2*x3

Dividindo a equação por a, temos:



Realizando a igualdade entre os polinômios:

x1 + x2 + x3 = – b/a

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a

x1 * x2 * x3 = – d/a


Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes, as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões:


x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a

x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a

x1 * x2 * x3 * x4 = e/a


Exemplo

Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0, considerando x1, x2 e x3, as raízes da equação.

Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1.

x1 + x2 + x3 = – b/a = –7/1 = –7

x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a = –6/1 = – 6

x1 * x2 * x3 = – d/a = –1/1 = –1
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