Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

Marcelo Rigonatto

Matriz quadrada

Matriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação de determinante. Os determinantes apresentam aplicações na resolução de sistemas lineares e no cálculo da área de um triângulo no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas de seus vértices.
Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.

Determinante de uma matriz de 1ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a₁₁], seu determinante será o número a₁₁. Ou seja:
det M = a₁₁

Determinante de uma matriz de 2ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

Determinante de uma matriz de 3ª ordem.

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:

Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:


O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.

2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.

(a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ )
3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:

(a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:

det A = (a₁₁∙a₂₂∙a₃₃ + a₁₂∙a₂₃∙a₃₁ + a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ ) - (a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:

Solução: A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:

Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz

Solução:

Exemplo 3. Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.

Solução:

det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9

Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:

Solução: