Hipérbole e Elipse

Aplicação

Verifique a posição relativa entre as circunferências:
= x² + y² = 4 e = (x - 2)² + y² = 16.

Solução:

→C₁ (0,0) e R₁ = 2 C₂ (2,0) e R₂ = 4

A distância entre seus centros é:


CÔNICAS OU LUGARES GEOMÉTRICOS

Denominamos lugar geométrico a um conjunto de pontos tais que todos eles (e só eles) possuem uma dada propriedade. A equação de um lugar geométrico do plano cartesiano é uma equação nas incógnitas x e y cujas soluções são os pares de coordenadas (x, y) dos pontos do lugar geométrico. Para obter tal equação, consideramos um ponto P (x, y) genérico e aplicamos a P a propriedade característica dos pontos do lugar geométrico. Neste número do Aprovar, estudaremos apenas a elipse e a hipérbole.

ELIPSE

É o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, F₁ e F₂, é constante, igual a 2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c)



EQUAÇÃO DA ELIPSE COM CENTRO NA ORIGEM
Considere a elipse com as extremidades do eixo maior nos pontos A₁(-a, 0) e A₂(a, 0), do eixo menor em B₁(0, b) e B₂(0, -b) e, conseqüentemente, o centro em O (0, 0). Considere também um ponto P (x, y) qualquer da curva. Com isso, obteremos, depois de certos procedimentos matemáticos, a equação reduzida da elipse.




HIPÉRBOLE

É lugar geométrico dos pontos P (x, y) de um plano tal que a diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante (2a < alt="" src="http://www.iped.com.br/sie/uploads/8309.jpg" border="0" height="32" width="56">= 2c.


Na figura, temos:

a) F₁ e F₂ são os focos da hipérbole, sendo = a distância focal.

b) A₁ e A₂ são os vértices da hipérbole, sendo A₁A₂ = A₁F₂ - A₁F₁ = 2a (constante da definição) →eixo real.


EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE COM CENTRO NA ORIGEM

Considere uma hipérbole na qual os focos pertencem ou ao eixo das abscissas ou ao eixo das ordenadas, e o centro é a origem O (0, 0). Considere também um ponto P (x, y) qualquer da curva. Com esses dados, obteremos, depois de alguns procedimentos matemáticos, a equação reduzida da hipérbole.



Aplicações

01. Obter a equação da elipse de focos F₁(-2,0) e F₂(2,0), sabendo ainda que seu semi-eixo menor é b = 3.

Solução:

De início, note que os focos pertencem ao eixo Ox (isto é, o eixo maior é horizontal) e que a semidistância focal é igual a 2. Então:




02. Determinar a equação da hipérbole de focos F₁(-3,0) e F₂(3,0) cujo semi-eixo real é a = 2.

Solução

Das: coordenadas dos focos concluiu-se que a hipérbole tem seu eixo real situado no eixo Ox e que a semi distância focal é c = 3. Assim,


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