Divisores de um Número

Divisores de um Número


Definimos divisores de um número n, como sendo o conjunto numérico formado por todos os números que o dividem exatamente.
Vejamos o 12 por exemplo:


Somente os quocientes 1, 2, 3, 4, 6 e 12 o dividem exatamente, já o quociente 5 não o divide exatamente. Sendo assim, o conjunto dos
divisores de 12 é :

D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6 e 12 } , da mesma forma teríamos :

D(4) = { 1, 2, e 4 } D(10) = { 1, 2, 5 e 10 } D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 }

D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 } D(40) = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40 }

Com isso percebemos que :

O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, já que possui uma quantidade limitada de elementos.

O conjunto dos divisores da unidade é um conjunto unitário formado pelo elemento 1 D(1) = { 1 }

O conjunto dos divisores do ZERO é um conjunto infinito formado por todos os números naturais diferentes de 0.
D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}
Lembremos que IN - { 0 } = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....} .

O conjunto dos divisores de um número diferente de 1 ou 0 tem no mínimo dois divisores, ele mesmo e a unidade. Assim :
D(7) = { 1, 7 } D(9) = { 1, 3 , 9 } D(11) = { 1, 11 } D(7) = { 1, 3, 5, 15 }

E com isso percebemos que a unidade é divisor de todo e qualquer número.

Observação Importante: Alguns autores e alguns concursos, como o Colégio Naval, estendem a definição de divisores de um número
para o conjunto dos números inteiros, e com isso teremos divisores positivos e negativos. Assim :

D(12) = { -12, - 6, - 4, -3, -2, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 } , mas só devemos considerar dessa forma se isso ficar bem claro numa questão.

Números Primos


Números Primos são aqueles que possuem somente dois divisores, ele mesmo e a unidade. Alguns números primos :
D(2) = { 1, 2 } D(5) = { 1, 5 } D(7) = { 1, 7 } D(19) = { 1, 19 }

Com isso percebemos que :

O 2 é o único número par que é primo.

A unidade não é um número primo pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 }

O ZERO não é um número primo pois possui uma infinidade de divisores D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}

O conjunto dos números primos é um conjunto infinito Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....}

Números Compostos


Números Compostos são aqueles que possuem uma quantidade finita de 3 ou mais divisores . Alguns números compostos :

D(4) = { 1, 2, 4 } D(8) = { 1, 4, 8 } D(24) = { 1,2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(42) = { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 } D(50) = { 1,2, 5, 10, 25, 50 }

Com isso percebemos que :

Com exceção do 2, todos os demais números pares são compostos.

A unidade não é um número composto pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 }

O ZERO não é um número composto pois possui uma infinidade de divisores D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}

O conjunto dos números compostos é um conjunto infinito Compostos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, ....}

E dessa forma podemos classificar os números em quatro categorias :

Um número N poderá ser o 0, a unidade, um número primo ou um número composto.

Reconhecimento de um Número Primo


Um número terminado em 1, 3, 7 e 9 será primo quando dividido sucessivamente pela listagem crescente dos números primos menores
que ele, gerar divisões inexatas e quando o quociente da divisão se tornar menor ou igual a ele .

Verifiquemos, por exemplo, se 173 é primo : Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a começar pelo 2.




Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vão diminuindo e cada divisão se mantém inexata, até que o quociente 13 e o
divisor tornam-se iguais. Com isso podemos afirmar que 173 é um número primo.

Verifiquemos, agora, se 187 é primo :

Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a começar pelo 2.




Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vão diminuindo e cada divisão se mantém inexata, até que ao dividirmos 187
por 11 o resto torna-se 0. Com isso podemos afirmar que 187 não é um número primo, já que ele é divisível por 11 e também por 17 .

Somente poderá ser primo um número terminado em 1, 3 , 7 ou 9

Listagem dos Números Primos Menores que 1 000


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 87 89 97 101 103 107 109 113 119
121 123 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479
487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683
691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997


Decomposição de um Número em Fatores Primos


Por diversas ocasiões precisamos decompor um número num produto de fatores primos. Assim :

20 = 4 x 5, e usando apenas fatores primos => 20 = 2 x 2 x 5 ou 22 x 5
60 = 4 x 15, e usando apenas fatores primos => 60 = 2 x 3 x 5 ou 22 x 3 x 5
7800 = 8 x 3 x 25 x 13, e usando apenas fatores primos => 23 x 3 x 52 x 13
2772 = 4 x 9 x 7 x 11, e usando apenas fatores primos => 22 x 32 x 7 x 11

Método prático para a decomposição de um número em fatores primos


Escrevemos o Número
A sua direita traçamos uma linha vertical
Vamos dividí-lo sucessivamente pelos números primos a partir do 2
Enquanto a divisão for possível continuaremos a divisão
Não sendo mais possível passamos para o próximo número primo
E assim faremos até que cheguemos a unidade.
Vejamos alguns Exemplos

Decomponha 120 em
fatores primos Decomponha 312 em
fatores primos Decomponha 495 em
fatores primos Decomponha 900 em
fatores primos

120 = 23 X 3 X 5 312 = 23 X 3 X 13 495 = 32 X 5 X 11 900 = 22 X 32 X 5





Cálculo dos Divisores de um Número


Escrevemos o Número
À sua direita traçamos uma linha vertical
Vamos decompô-lo em fatores primos
Feito isso traçamos a direita dos fatores primos uma nova linha vertical
A direita dessa linha e acima do menor número primo encontrado lançamos a unidade
Multiplicamos o menor fator primo encontrado por todos os números que se encontram acima dele e escrevemos os resultados à
direita do traço vertical e na mesma linha do fator primo
Se o fator primo for o mesmo do anterior multiplicaremos esse fator apenas pela linha de cima.
Se o fator primo for diferente do anterior começaremos nossa multiplicação pela unidade e continuaremos por todos os números
acima dele
E assim faremos até chegarmos ao número original que é o maior divisor possível.
Todos os números encontrados a direita do segundo traço vertical serão os divisores do número solicitado.

Vejamos alguns Exemplos

Exemplo 1 - Quais são os divisores de 120 Exemplo 2 - Quais são os divisores de 158



Os divisores de 120 são :
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 15 - 18 - 20 - 30 - 40 - 60 - 120 Os divisores de 158 são :
1 - 2 - 79 - 158


Exemplo 3 - Quais são os divisores de 200 Exemplo 4 - Quais são os divisores de 396


Os divisores de 200 são :
1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 20 - 25 - 40 - 50 - 100 - 200 Os divisores de 396 são :
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 11 - 12 - 18 - 22 - 33 - 36 - 44 - 66 - 99 - 132 - 198 - 396


Cálculo da Quantidade de Divisores de um Número


Em muitas situações precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores de um número sem conhecermos exatamente quais são
eles :

E para tal utilizaremos a fórmula : ( Mais tarde a deduziremos )

A quantidade de divisores de um número é dado pelo produto entre os
consecutivos dos expoentes de todos os seus fatores primos.


Exemplo 1 - Quantos são os divisores de 60
Decomposição em fatores primos 60 = 22 x 3 x 5
Expoentes dos fatores primos 2 , 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1 = 3 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1 = 2
Produto entre os consecutivos 3 x 2 x 2 = 12
O número 60 possui 12 divisores


Exemplo 2 - Quantos são os divisores de 720
Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5
Expoentes dos fatores primos 4 , 2 e 1
Consecutivos dos Expoentes 4 + 1 = 5 , 2 + 1 = 3 e 1 + 1 = 2
Produto entre os consecutivos 5 x 3 x 2 = 30
O número 720 possui 30 divisores


Cálculo da Quantidade dos Divisores Ímpares de um Número


Em muitas situações precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores ímpares de um número sem conhecermos exatamente
quais são eles :

E para tal utilizaremos a fórmula : ( Mais tarde a deduziremos )

A quantidade de divisores ímpares de um número é dado, exclusivamente, pelo
produto entre os consecutivos dos expoentes de seus fatores primos ímpares..


Exemplo 1 - Quantos são os divisores ímpares de 540
Decomposição em fatores primos 540 = 22 X 33 X 5
Expoentes dos Fatores primos ímpares 3 e 1
Consecutivos dos Expoentes 3 + 1 = 4 e 1 + 1
Produto entre os consecutivos 4 x 2 = 8
O Número 540 possui 8 divisores ímpares


Exemplo 2 - Quantos são os divisores ímpares de 3 150
Decomposição em fatores primos 3 150 = 2 x 33 x 5 x 7
Expoentes dos Fatores primos ímpares 3, 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 3 + 1 = 4 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1= 2
Produto entre os consecutivos 4 x 2 x 2 = 16
O Número 3 150 possui 16 divisores ímpares


Cálculo da Quantidade dos Divisores Pares de um Número


Lembremos que somente um número par terá divisores pares

A quantidade de divisores pares de um número par é dado pelo produto entre o expoente do fator primo 2 e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos ..


Exemplo 1 - Quantos são os divisores pares de 360
Decomposição em fatores primos 360 = 23 X 32 X 5
Expoente do fator primo 2 3
Expoentes dos Fatores primos ímpares 2 e 1
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1 = 3 e 1 + 1 = 2
Produto entre 3 ( expoente do fator primo 2 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 3 x 3 x 2 = 18
O Número 360 possui 18 divisores pares


Exemplo 2 - Quantos são os divisores pares de 420
Decomposição em fatores primos 840 = 22 X 3 X 5 X 7
Expoente do fator primo 2 2
Expoentes dos Fatores primos ímpares 1, 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 1 + 1 = 2 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1 = 2
Produto entre 2 ( expoente do fator primo 2 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 2 x 2 x 2 x 2 = 16
O Número 840 possui 16 divisores pares


Cálculo da quantidade dos múltiplos de um número p dentre os divisores de um número N


OBS => Esse cálculo somente terá sentido se p for divisor de N

1º Caso : O número p é um fator primo de N

A quantidade de divisores múltiplos de um número p é dado pelo produto entre o expoente do fator primo p e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos..

Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 são múltiplos de 3
Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5
Expoente do fator primo 3 2
Expoentes dos demais fatores primos 4 e 1
Consecutivos dos Expoentes 4 + 1 = 5 , 1 + 1 = 2
Produto entre 2 ( expoente do fator primo 3 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 2 x 5 x 2 = 20
O Número 720 possui 20 divisores múltiplos de 3


Exemplo 2 - Quantos divisores de 2 880 são múltiplos de 5
Decomposição em fatores primos 2 880 = 26 x 32 x 5
Expoente do fator primo 5 1
Expoentes dos demais fatores primos 6 e 2
Consecutivos dos Expoentes 6 + 1 = 7 , 2 + 1 = 3
Produto entre 1 ( expoente do fator primo 5 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 1 x 7 x 3 = 21
O número 2 880 possui 21 divisores múltiplos de 5



2º Caso : O número p é composto e é um produto de fatores primos de N

A quantidade de divisores múltiplos de um número composto p é dado pelo
produto entre os consecutivos dos expoentes dos fatores primos restantes..


Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 são múltiplos de 12
Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5
Isolemos o produto 12 ( 22 X 3 ) X 22 X 3 X 5
Expoentes dos demais fatores primos 2, 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1, 1 + 1 e 1 + 1
Produto entre os consecutivos 3 X 2 X 2= 12
O número 720 possui 12 divisores múltiplos de 12


Exemplo 2 - Quantos divisores de 1 440 são múltiplos de 40
Decomposição em fatores primos 1 440 = 25 x 32 x 5
Isolemos o produto 40 ( 23 X 5 ) X 22 X 32
Expoentes dos demais fatores primos 2 e 2
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1 e 2 + 1
Produto entre os consecutivos 2 X 2= 4
O número 1 440 possui apenas 4 divisores múltiplos de 40


Uma regra prática e bastante útil nesse caso seria a de dividirmos o número N pelo número p e a quantidade de divisores desse quociente nos dará a quantidade de múltiplos de p dentre os divisores de N.


Exercícios Propostos

I - Quais são os divisores de :

01) 20 02) 45 03) 72 04) 128
05) 400 06) 560 07) 1 040 08) 1 200


II - Calcule o produto entre os divisores positivos de :

09) 36 10) 48 11) 60 12) 144


III - Calcule o produto entre os divisores inteiros de :

13) 30 14) 54 15) 105 16) 108


IV - Verifique se são primos os números :

17) 237 18) 267 19) 343 20) 433
21) 851 22) 953 23) 1 049


24) Mostre que a soma dos algarismos de um número primo não pode ser 15 e nem 21.

VI - Determine o valor de x para que os números abaixo sejam primos

25) 1x3 26) 32x 27) 54x 28) 63x5


29) Podemos afirmar que não existem números consecutivos primos ?

30) O consecutivo de um número primo é sempre um número ....... .

31) Podemos afirmar que todo número primo com mais de um algarismo é ímpar ?

VII - Decomponha em fatores primos :

32) 24 33) 38 34) 56 35) 96 36) 180
37) 240 38) 320 39) 539 40) 936 41) 1024
42) 1440 43) 3850 44) 3960 45) 4500


VII - Decomponha em fatores primos as multiplicações :

46) 24 x 30 47) 38 x 60 x 72 48) 32 x 40 x 108
49) 22 x 33 x 44 x 77 50) 122 x 203 x 212 51) 15 n x 18 n x 28 n


VIII - Quantos são os divisores de :

52) 72 53) 96 54) 360 55) 450 56) 600
57) 740 58) 840 59) 1 120 60) 1 560 61) 1 800


IX - Quantos são os divisores pares de :

62) 36 63) 60 64) 96 65) 420 66) 660
67) 720 68) 900 69) 1 200 70) 1 440 71) 2 000


X - Quantos são os divisores ímpares de :

72) 54 73) 234 74) 275 75) 1 428 76) 7 425


XI - Determine o valor de n para que os números tenham :

77) 22 x 3n x 5 - 18 divisores 78) 23 x 32 x 7n - 36 divisores 79) 24 x 5n x 11n - 45 divisores
80) 123 x 52 x 13n - 168 divisores 81) 24n x 72 x 23 - 126 divisores 82) 123 x 52 x 13n - 168 divisores


XII - Qual o menor número da forma 2a X 3b que possui :

83) 12 84) 20 85) 36 86) 40


XIII - Qual o menor número da forma 2a X 3b X 5c que possui :

87) 18 88) 24 89) 60


XIV - Dentre os divisores de 60, quantos são múltiplos de :

90) 6 91) 10 92) 12 93) 18 94) 20


XV - Dentre os divisores de 120, quantos são múltiplos de :

95) 8 96) 10 97) 12 98) 15 99) 30


XVI - Dentre os divisores de 300, quantos são múltiplos de :

100) 4 101) 6 102) 12 103) 18 104) 60


105) Dentre os divisores de 180, quantos não terminam em 0 ?

106) Dentre os divisores de 90, quantos terminam em cinco ?

Questões de Concurso

107)( CEFETQ 1992 - Discursiva ) Na decomposição em fatores primos de um número natural N, encontramos o seguinte resultado:
3x . 3y . 5z . Sabendo que possui 105 divisores, calcule o valor de x + y + z.

108) ( CEFET 2000 - Discursiva ) Seja N = 2 x 302 , qual o número de divisores de N que são também múltiplos de 15 ?

109) ( Colégio Naval - 1982 ) Seja N = 24 x 35 x 56 . O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é

A) 24 B) 35 C) 120 D) 144 E) 210

110) ( Colégio Naval - 1984 ) Seja o número , o número de divisores positivos de N é :

A) 6 B) 15 C) 2 D) 13 E) 4

111)( CEFET 1996 ) A soma dos valores absolutos dos algarismos de um número superior a 1010 e inferior a 2010 e ao mesmo tempo
múltiplo de 7, 11 e 13 é:

A) 2 B) 5 C) 15 D) 11 E) 22

112) ( EPCAR 2001 ) Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo das dezenas é a metade do
algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar. É correto afirmar que

A) n + 1 é divisível por 7 B) n está entre 2000 e 3009
C) n + 2 é múltiplo de 10 D) n apresenta 12 divisores positivos


113) ( Colégio Naval - 1991 ) O produto de todos os divisores inteiros de 144 é :

A) - 230 X 315 B) 230 X 315 C) - 260 X 330 D) 260 X 330 E) - 630

114) ( CEFET 1995 - Discursiva ) Determine a soma dos valores absolutos de um número que é superior a 500, inferior a 1000 e é, ao
mesmo tempo, múltiplo de 3, 11 e 13 .

115) ( Colégio Naval - 1990 ) Os números da forma 4k 2 + 50 + 4k 2 + 51 + 4k 2 + 52 + 4k 2 + 53 são sempre múltiplos de:

A) 17 B) 19 C) 23 D) 29 E) 31


116) ( Colégio Naval - 1996 ) Os números naturais M e N são formados por dois algarismos não nulos. Se os algarismos de M são os
mesmos algarismos de N, na ordem inversa, então M + N é necessariamente múltiplo de :

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11

117) ( Colégio Naval - 2001 ) Se a e b são números naturais e 2a + b é divisível por 13, então um número múltiplo de 13 será :
A) 91a + b B) 92a + b C) 93a + b D) 94a + b E) 95a + b






extraido de www.Matemática Muito Fácil.com

RAIZ QUADRADA

Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado.
Exemplos:
a) √49 = 7 porque 7² = 49
b) √100 = 10 porque 10² = 100

NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS

Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais:
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49

Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.



RAIZ QUADRADA APROXIMADA

Vamos calcular a raiz quadrada do número 23.

Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25

Veja: 16 é menor 23 é menor 25.

Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25.
4 é menor que √23 é menor que 5.

Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23.
E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23

1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25

a) √4 = (R: 2)b) √64 = ( R: 8)
c) √81 = (R: 9)d) √49 = (R: 7)e) √0 = ( R: 0)f) √1 = (R: 1)g) √100 = (R: 10)h) √121 = (R: 11)i) √169 = ( R: 13)j) √400 = (R: 20)k) √900 = (R: 30)l) √225 = (R:15)
2) Calcule

a) √1 + √0 = (R: 1)
b) √64 - √49 = ( R: 1)
c) 15 + √81 = (R: 24)d) 2 + √4/9 = (R: 8/3)
e) -3 + √16 = ( R: 1)
f) -5 - √36 = (R: -11)
g) 3√16 – 9 = (R: 3)

3) Calcule

a) √81 = (R: 9)
b) √36 = (R: 6)
c) √144 = (R: 12)
d) √196 = (R: 14)
e) √1600 = (R: 40)
f) √100 = (R:10)
g) -√100 = (R: -10)
h) √121 = (R: 11)
i) -√121 = (R: -11)
j) √400 = (R: 20)
k) -√400 = (R: -20)
l) √4/9 = (R: 2/3)
m) √1/16 = ( R: 1/4)
n) √64/81 = (R: 8/9)
o) √49/25 = (R: 7/5)


4) Calcule

a) 10.√4 = (R: 20)
b) 3 + √25 = (R: 8)
c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3)
d) √81-√9 = ( R: 6)
e) √100 - √25 = (R: 5)
f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6)
g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5)

5) Se √x = 30, então o valor de x é:

a) 60
b) 90
c) 600
d) 900 (X)
6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é:

a) 1/4
b) 3/2
c) 1/2 (X)d) 3/4

7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é:
a) 42
b) 51
c) 50 (x)d) 38

Circunferências

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

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www.accbarrosogestar.wordpress.com       

Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas de um ponto P posicional da circunferência. A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes.

(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.

Comparação

Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, temos:

–2a = –2
a = 1

–2b = 8
2b = –8
b = –4

a2 + b2 – r2 = 8
12 + (–4)2 – r2 = 8
1 + 16 – r2 = 8
17 – r2 = 8
– r2 = 8 – 17
– r2 = – 9
r = 3

Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.


Redução

Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:

1º passo

É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8

2º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1

3º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = – 8 +1 + 16

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9

(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9

Comparando com a equação reduzida.

(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9

(x + a)2 + (y + b)2 = r2

Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.
fonte www.mundoeducacao.com.br

Função do 2º grau

4. VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA

É o ponto de maior ou menor valor que a função y = ax2 + bx + c pode atingir e coincide com a intersecção do eixo de simetria com o gráfico:


Observação: eixo de simetria (R) é uma reta que divide a parábola em duas partes simétricas.

Aplicação

Calcular o vértice da parábola y = x2 – 5x + 6.




5. VALOR MÍNIMO OU MÁXIMO

A ordenada do vértice pode ser o valor mínimo ou máximo da função quadrática, dependendo de sua concavidade. Com isso temos:



Aplicação

Determinar a imagem da função

y = x2 – 2x – 3.

Solução:
Se a > 0, então o valor é máximo e é dado por:



6. ESTUDO DO SINAL

O estudo do sinal da função do 2.º grau é feito determinando-se os seus zeros (caso existam) e analisando o esboço do gráfico.

Aplicação

Lembre-se de que o valor de está relacionado com as raízes e o valor de a determina a concavidade da parábola que a representa.



Exemplo: Estude a variação de sinal da função 3x2 - 4x + 1.

a) Zeros da função: 1/3 e 1.

b) A parábola corta o eixo x nos pontos de abscissas 1/3 e 1. Como a = 3 > 0, sua concavidade está voltada para cima.



Examinando a figura, temos:

I. y > 0, para x > 1/3 ou x > 1;

II. y = 0, para x = 1/3 ou x = 1;

III. y < 0, para 1/3 < x < 1. 7. INEQUAÇÕES DO 2.º GRAU A partir do estudo dos sinais da função do 2.º grau, podemos resolver inequações de mesmo grau ou inequações que apresentem produtos ou quocientes de trinômios de 2.º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1.º grau, já estudados no tablóide anterior. Aplicação Resolver a inequação (-x2 + 3x +4).(x – 2) < 0 Essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2.º grau e o outro é um binômio de 1.º grau.

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Professor Antonio carlos Carneiro Barroso
extraido de www.colegioweb.com.br

Produtos notaveis

Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.

Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.

A. Quadrado da Soma de Dois Termos

B. Quadrado da Diferença de Dois Termos

C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

D. Cubo da Soma de Dois Termos

E. Cubo da Diferença de Dois Termos

matematicoteca

Qual número eu pensei?

Qual número pensei

Qual número eu pensei?

Cada aluno recebe uma cartela ou tábua numérica, contendo números de 1 a 100, fichas retangulares e quadradinhas.
Modo de jogar.
Um aluno pensa num número.
O outro aluno fará perguntas para adivinhar qual número o colega pensou.
Exemplo:
O aluno A pensa no número 42.
O aluno B pergunta se é o 25.

O aluno A responde: - É maior que 25.
Então o aluno B coloca as fichas retangulares e as quadradas, cobrindo todos os números de 1 a 25, pois estes não estão mais no jogo.
O aluno B diz outro número: 62.
O aluno A diz: é menor que 62.
Então o aluno B cobre todos os números de 62 a 100.
Estão agora no jogo somente os números de 26 a 61.
O aluno B diz outro número. Por exemplo: 39.
O aluno A diz é maior.
Então são cobertos os números que vão de 26 a 39.
Estão no jogo os números entre 40 e 61.
O aluno B diz 48.
O aluno A responde: é menor.
Então são cobertos os números de 48 a 61.
Estão somente no jogo os números de 40 a 47.
Agora está próximo do aluno B adivinhar. Ele diz outro número: 44.
O aluno A diz é menor.
O aluno B cobre com os quadrinhos os números 44, 45 e 46.
Sobram somente os números 41, 42 e 43. Agora fica fácil para o aluno B adivinhar o número pensado pelo aluno A.
Este jogo pode ser em duplas ou com a professora jogando contra a turma toda, sendo que cada aluno fala um número por vez e todos marcam em suas respectivas cartelas.
O jogo auxilia a formação e a leitura das sequencias numéricas, estabelecendo quantidades (maior e menor), além de desenvolver a atenção de não repetir números que já estão fora jogo.
Boa jogada a todos!

Tiras para recortar os retângulos.

Quadradinhos para recortar.

Fonte: Além do Caderno

Unidades de Volume

Unidades de Volume


O metro cúbico (m3) é a unidade fundamental de volume.

Já sabemos que medir é comparar com uma medida padrão adotada. A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico ( m3 )
que é a medida correspondente ao volume de um cubo com 1 metro de lado. Quando afirmamos, por exemplo, que o volume de um
sólido é igual a 75 m3 , estamos afirmando que esse sólido ocupa no espaço um volume equivalente a 75 cubos de 1m x 1m x 1 m.

Como a medida padrão metro cúbico se torna pequena para medirmos grandes volumes e muito grande ao medirmos pequenos
volumes foram criados os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico, que mostraremos na tabela a seguir.

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro
cúbico centímetro cúbico milímetro
cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
109 m3 106 m3 103 m3 1 m3 10-3 m3 10-6 m3 10-9 m3


Mudanças de Unidade - Unidades de Volume


Como a tabela nos mostra cada unidade é 1 000 vezes maior que a unidade posicionada à sua direita e 1 000 vezes menor que a
unidade posicionada à sua esquerda. Assim :

O metro cúbico é 1 000 vezes maior que o decímetro cúbico, 1 000 000 vezes maior que o centímetro cúbico e 1 000 000 000 vezes
maior que o milímetro cúbico.

O metro cúbico é 1 000 vezes menor que o decâmetro cúbico, 1 000 000 vezes menor que o hectômetro cúbico e 1 000 000 000 vezes
menor que o quilômetro cúbico.

Exemplo 5 - Transformar 0,003470 dam3 em dm3.
Como o decímetro cúbico é a segunda casa à direita do decâmetro cúbico, caminharemos com a vírgula três casas até o metro cúbico,
e mais três casas até o decímetro cúbico, ou seja, caminharemos 3 x 2 = 6 casas para a direita, e se necessário, completaremos o
número com zeros.

Então : 0,003470 dam3 = 3,470 m3 = 3470 dm3

Exemplo 6 - Transformar 431 858,7 mm3 em m3.
Como o metro cúbico é a terceira casa à esquerda do milímetro cúbico, caminharemos com a vírgula três casas até o centímetro
cúbico, três casas até o decímetro cúbico e mais três casas até o metro cúbico, ou seja, caminharemos 3 x 3 = 9 casas para a esquerda,
e se necessário, completaremos o número com zeros.

Então : 4 318 58,7 mm3 = 431,857 8 cm3 = 0, 431 857 8 dm3= 0,000 431 857 8 m3

Volume de alguns Sólidos.




Unidades de Capacidade


A diferença entre Volume e Capacidade


Você certamente já viu um paralelepípedo, aqueles blocos de pedra que ainda calçam boa parte de nossas ruas. Ele possui volume já
que ele ocupa lugar no espaço. Não seria correto afirmarmos que ele possui capacidade. Dentro dele não há espaço para conter nada.

Uma caixa de sapato, por sua vez, também ocupa lugar no espaço, portanto possui volume, mas, além dele, ainda possui a capacidade
de conter algum volume em seu interior.

A Medida de Capacidade


Dentro de nosso sistema métrico decimal, consideramos como unidade fundamental de capacidade o litro ( l ) e de acordo com o
Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é , aproximadamente, equivalente ao o volume de um cubo que possui 1 dm de
aresta, ou seja :

1 litro = 1,000027 dm3 e aceitaremos que : 1 litro = 1 dm3

A Capacidade interna de um cubo de 1 dm de aresta e paredes desprezíveis é de 1 litro.

Outras Unidades de Capacidade


Além do litro, utilizamos outras unidades para medir a capacidade dos recipientes. São elas :

Múltiplos do litro

decalitro ( dal ) - Capacidade equivalente a 10 litros 1 dal = 10l
hectolitro ( hl ) - Capacidade equivalente a 100 litros 1 hl = 100 l
quilolitro ( kl ) - Capacidade equivalente a 1.000 litros 1 kl = 1.000 l

Submúltiplos do litro

decilitro ( dl ) - Capacidade equivalente a 0,1 litros 1 dl = 0,1l 1 l = 10 dl
centilitro ( cl ) - Capacidade equivalente a 0,01 litros 1 cl = 0,01 l 1 l = 100 cl
mililitro ( ml ) - Capacidade equivalente a 0,001 litros 1 ml = 0,001 l 1 l = 1.000 ml

E montando uma tabela, teremos :


Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1 000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l


Transformação de Unidades de Capacidade


Diferente do que acontece com as unidades de volume, as unidades de capacidade variam como as unidades de comprimento,
ou seja: Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade que a antecede. Assim :

O litro é 10 vezes maior que o decilitro, 100 vezes maior que o centilitro e 1 000 vezes maior que o mililitro.

O litro é 10 vezes menor que o decalitro, 100 vezes menor que o hectolitro e 1 000 vezes menor que o quilolitro.

Exemplo 7: Transfomar 5,34 kl para dl

De 5,34 kl para dl caminharemos quatro casas para a direita, com isso, andaremos com a vírgula para a direita quatro casas,
Assim: 5,34 kl = 53.400 dl

Exemplo 8: Transfomar 78.603 dl para hl

De 78.603 dl para hl caminharemos três casas para a esquerda, com isso, andaremos com a vírgula três casas para a esquerda,
Assim: 78.603 dl =78,603 hl

Relação entre as Unidades de Volume e Capacidade


Como já havíamos visto na definição de litro : 1 litro = 1 dm3 e como conseqüencia : 1 kl = 1 m3 e 1 ml = 1 cm3. Veja a tabela :

Quilolitro Litro Mililitro
kl l ml
1 m3 1 dm3 1 cm3


Transformação de Unidades de Capacidade e Volume


Para transformarmos Unidade de Capacidade em unidades de Volume e vice-versa devemos ter sempre a relação de igualdade :
1 l = 1 dm3

Exemplo 9 : Quantos litros estão contidos em 45,7 cm3 ?
Inicialmente transformaremos cm3 em dm 3
45,7 cm3 = 0,0457 dm3 e assim 0,0457 dm3 = 0,0457 litros

Exemplo 10 : Quantos litros de água cabem numa piscina de 10 m x 5 m x 3 m ?
Inicialmente calculemos o volume dessa piscina:
10 m x 5 m x 3 m = 150 m3. Transformemos 150 m3 para dm3
150 m3 = 150.000 dm3 = 150.000 litros de água

Exemplo 11 : Um vasilhame contém 2,75 litros de refrigerante. Quantos cm3 ele contém ?
Sabemos que 2,75 l = 2,75 dm3 e passando para cm3, teremos : 2,75 dm3 = 2.750 cm3

A Unidade de Massa


Dentro de nosso sistema métrico decimal, consideramos como unidade fundamental de massa o quilograma ( kg ) . Para mantermos a
coerência com as demais medidas, ainda consideraremos o grama ( g ) como unidade fundamental.

A Diferença entre Peso e Massa


Definimos Massa como sendo a quantidade de matéria presente em um corpo e definimos peso como sendo a ação da força da
gravidade sobre essa massa. Como a força da gravidade varia de acordo com a distância que o objeto se encontra do centro da terra,
o peso é variável, mas a massa de um corpo é sempre constante. Numa mesma região os conceitos de massa e peso podem ser
considerados iguais.

Outras Unidades de Massa


Além do grama e do quilograma, utilizamos outras unidades para medir a massa dos corpos. São elas :

Múltiplos do grama

decagrama ( dag ) - Capacidade equivalente a 10 gramas 1 dag = 10 g
hectograma ( hg ) - Capacidade equivalente a 100 gramas 1 hg = 100 g
tonelada ( t) - Capacidade equivalente a 1 000 quilogramas 1 t = 1 000 kg

Submúltiplos do grama

decigrama ( dg ) - Capacidade equivalente a 0,1 gramas 1 dg = 0,1 g 1 g = 10 dg
centigrama ( cg ) - Capacidade equivalente a 0,01 gramas 1 cg = 0,01 g 1 g = 100 cg
miligrama ( mg ) - Capacidade equivalente a 0,001 gramas 1 mg = 0,001 g 1 g = 1.000 mg

E montando uma tabela, teremos :


Múltiplos do grama Unidade Fundamental Submúltiplos da grama
tonelada quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
t kg hg dag g dg cg mg
1 000 kg 1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g


Transformação de Unidades de Massa


Exatamente como acontece com as unidades de capacidade, as unidades de massa variam como as unidades de comprimento, ou seja:

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade que a antecede. A grande exceção é a tonelada que é equivalente a 1 000 kg. Assim :

O grama é 10 vezes maior que o decigrama, 100 vezes maior que o centigrama e 1 000 vezes maior que o miligrama.

O grama é 10 vezes menor que o decagrama, 100 vezes menor que o hectograma e 1 000 vezes menor que o quilograma e um milhão
de vezes menor que a tonelada

Exemplo 12: Transfomar 7,61 hg para cg
De 7,61 hg para dg caminharemos três casas para a direita, com isso, andaremos com a vírgula para a direita três casas,
Assim: 7,61 hg = 7. 610 dg

Exemplo 13: Transfomar 82.509 cg para kg
De 82.509 cg para kg caminharemos cinco casas para a esquerda, com isso, andaremos com a vírgula cinco casas para a esquerda,
Assim: 82.509 cg = 0,825 09 kg

Exemplo 14: Transfomar 0,045 t para dag
0,045 t para dag caminharemos três casas para a direita para transformarmos tonelada em quilograma e andaremos mais duas casas
para chegarmos a decagrama, com isso, andaremos com a vírgula cinco casas para a direita,
Assim: 0,045 t = 4.500 dag

A Unidade de Tempo


Consideramos como unidade fundamental de tempo o segundo ( s ). O segundo é definido como o intervalo de tempo equivalente
à fração 1/86 400 do dia solar médio.

Outras Unidades de Tempo


Múltiplos do segundo

minuto ( min ) - Intervalo de tempo equivalente a 60 segundos 1 min = 60 s
hora ( h ) - Intervalo de tempo equivalente a 3 600 segundos 1 h = 60 min = 3 600 s
dia ( d ) - Intervalo de tempo equivalente a 86 400 segundos 1 d = 86 400 segundos

Submúltiplos do segundo. Apesar de não serem considerados oficiais, são utilizados, especialmente em medições muito precisas de
tempo, por exemplo nos tempos esportivos. Não devem ser consideradas oficiais já que estão no sistema decimal e não no oficial
sistema sexagesimal.

Décimo de segundo - Intervalo de tempo equivalente à décima parte do segundo è 10 décimos de segundo = 1 s

Centésimo de segundo - Intervalo de tempo equivalente à centésima parte do segundo è 100 centésimos de segundo = 1 s

Percebemos que unidades de tempo não pertencem ao sistema decimal de numeração e sim ao sistema sexagesimal, pois cada
unidade é 60 vezes maior que a anterior.

E montando uma tabela, teremos :


Múltiplos do segundo Unidade Fundamental Submúltiplos da segundo
dia hora minuto segundo décimos de segundo centésimos de segundo
d h min s
86 400 s 3 600 s 60 s 1 s 0,1 s 0,01 s


Transformação de Unidades de Tempo


Por não serem unidades decimais, as transformações de unidades são bastantes diferentes das mostradas até aqui.

Assim :

O segundo é 60 vezes menor que o minuto, 3 600 vezes menor que a hora e 86 400 vezes menor que o dia.

E na errônea definição de submúltiplos do segundo. O segundo é 10 vezes maior que o décimo de segundo, 100 vezes maior que o
centésimo de segundo.

Exemplo 15: Transfomar 458 h para dias
Se dividirmos 458 horas por 24 horas ( o número de horas do dia ) encontraremos para quociente 19 e para resto 2, ou seja,
19 dias e 2 horas

Exemplo 16: Quantos segundos temos em uma semana ?
Sabemos que uma semana tem 7 dias, cada dia tem 24 horas, cada hora tem 60 minutos e cada tem 60 segundos.
Assim : 1 semana = 7 x 24 x 60 x 60 = 604.800 segundos.

Exemplo 17: Quantas dias, horas, minutos e segundos existem em 100.000 segundos ?
Se dividirmos 100.000 s por 60 teremos o números de minutos : 1.666 min e 40 s de resto
Se dividirmos 1.666 min por 60 teremos o números de horas : 27 horas e 46 min de resto
Se dividirmos 27 horas por 24 teremos o números de dias : 1 dia e 3 horas de resto
Assim : 100.000 segundos = 1 dia 3 horas 46 min 40 s .

Outras Unidades de Tempo


Semana Intervalo de Tempo Equivalente a 7 dias
Mês Civil Intervalo de Tempo Equivalente a 30 dias ou 31 dias
Mês Comercial Intervalo de Tempo Equivalente a 30 dias
Ano Civil Intervalo de Tempo Equivalente a 365 dias
Ano Bissexto Intervalo de Tempo Equivalente a 366 dias
Ano Comercial Intervalo de Tempo Equivalente a 360 dias
Bimestre Intervalo de Tempo Equivalente a 2 meses
Trimestre Intervalo de Tempo Equivalente a 3 meses
Semestre Intervalo de Tempo Equivalente a 6 meses
Biênio Intervalo de Tempo Equivalente a 2 anos
Lustro ( Em Desuso ) Intervalo de Tempo Equivalente a 5 anos
Década ou Decênio Intervalo de Tempo Equivalente a 10 anos
Século Intervalo de Tempo Equivalente a 100 anos
Milênio Intervalo de Tempo Equivalente a 1000 anos

Tecido Epitelial

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Tecido Epitelial de Revestimento
Tecido designa todo o conjunto de células que executam funções exclusivas. Para executar essas funções, as células semelhantes ou diferentes entre si que compõe o tecido trabalham em conjunto.

O tecido epitelial é um dos quatro tipos básicos dos tecidos animais, e tem por característica uma quantidade limitada de substância celular. Como suas células não possuem vasos sanguíneos, os nutrientes são recebidos através do tecido conjuntivo.

O tecido epitelial origina-se da ectoderme, mesoderme ou endoderme.

Encontrado na epiderme, na parede interna do nariz e da boca, nas glândulas salivares e em glândulas anexas da pele, o tecido epitelial possui origem ectodérmica.

Os de origem mesodérmica são encontrados no revestimento interno dos vasos sanguíneos, no revestimento interno do sistema urogenital e nas membranas que envolvem órgãos como o peritônio, as pleuras e o pericárdio.

Aqueles que se encontram no revestimento interno do tubo digestivo e das vias aéreas, no fígado, no pâncreas, na bexiga, na tireóide e paratireóide são de origem endodérmica.

Existem dois tipos básicos de tecido epitelial: de revestimento e glandular.

O tecido epitelial de revestimento cobre a superfície externa do corpo e as cavidades corporais internas dos animais, formando as glândulas. O tecido epitelial é formado por células bem encaixadas entre si, com o intuito de evitar a penetração de microorganismos e possuem muitas camadas de células para evitar a perda de água em excesso.

O tecido epitelial glandular forma as glândulas, produz e elimina substâncias necessárias nas superfícies do tecido.
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Insetos (Insecta)

Os insetos compreendem o mais numeroso grupo de animais. Existem mais de 750.000 mil espécies descritas. Encontra-se nesta classe uma grande irradiação adaptativa, o que proporcionou a estes animais o sucesso de sobrevivência.

Possuem uma importância econômica e ecológica muito grande, muitas flores dependem dos insetos polinizadores para sua reprodução, muitos insetos são vetores de doenças e pragas na agricultura, etc.

Estrutura corporal

O corpo dos insetos é dividido em cabeça, tórax e abdome. Possuem 3 pares de pernas, um ou dois pares de asas, um par de antenas e um par de olhos compostos. São hipognatos (peças bucais dirigidas para baixo), algumas espécies predadoras possuem as peças dirigidas para frente, e os hemípteros e homópteros (sugadores) possuem as peças voltadas para trás.
O tórax é dividido em protórax, mesotórax e metatórax. Cada segmento possui um par de pernas.

Vôo

Muitos insetos possuem asas e esta é uma característica marcante e muito importante na adaptação destes animais. Algumas espécies possuem asas em apenas curtos períodos do clico de vida. As asas são dobras do tegumento e compostas de duas camadas de cutícula. As nervuras formam um suporte esquelético para a asa. Cada inseto possui uma asa adaptada ao tipo de vôo. As asas têm caráter sistemático nos insetos.
Elas movimentam-se para cima e para baixo, para frente e para trás, para que possam voar. Estes movimentos acontecem graças ã contração de uma série de músculos, existindo um impulso nervoso para cada contração muscular.
A velocidade do batimento da asa também varia conforme a espécie, a modalidade de vôo e do fluxo de ar.

Digestão

A dietas são muito variadas e os insetos possuem um aparelho bucal para cada tipo: sugador, picador, mastigador e lambedor.
A maioria dos insetos possui glândulas salivares labiais. Em algumas mariposas, abelhas e vespas estas glândulas secretam o material de seda para a confecção da pupa.
A maioria possui cecos gástricos, que abrigam um regenerador da fauna bacteriana no intestino.

Circulação

O coração está localizado no seio pericárdico e é de forma tubular. O sangue dos insetos é de cor verde ou incolor. A circulação é do tipo aberta.

Respiração

É realizada por traquéias, onde existem numerosas invaginações no corpo, que se ramificam muito até entrar em contato com as células. Os orifícios que comunicam as traquéias com o exterior são chamados espiráculos. Desta forma o sangue não tem função respiratória. As trocas gasosas são feitas por difusão através do gradiente de concentração.
Alguns insetos muito pequenos não possuem traquéias e suas trocas gasosas são feitas por toda a superfície do corpo.

Excreção

A excreção é feita pelos túbulos de Malpighi e a principal excreta nitrogenada é o ácido úrico, que é excretado junto com as fezes. Nem todas as excretas saem pelos túbulos de Malpighi. Alguns sais são depositados na cutícula e são descartados na muda. A excreção do ácido úrico representa uma grande economia de água, devido ao metabolismo de proteínas.

Reprodução

Os insetos são dióicos, com fecundação interna, ovíparos e possuem os seguintes tipos de desenvolvimento:

Direto: Não apresenta metamorfose, chamado de desenvolvimento ametábolo. Do ovo eclode um jovem parecido com o adulto.

Indireto: Apresentam metamorfose. De acordo com ela podem se dividir em:
- Hemimetábolos: Apresentam metamorfose incompleta. Do ovo eclode uma ninfa, semelhante ao adulto, mas sem asas. Exemplo: Libélulas

- Holometábolos: Apresentam metamorfose completa. Do ovo eclode uma larva, que se alimenta ativamente e depois forma uma pupa, que pode construir um casulo. Na pupa ocorre a metamorfose e dela sai um indivíduo adulto. Alguns representam forma larval aquática. Exemplos: mosca, borboleta, etc.

Parasitismo, comunicação e insetos sociais

O parasitismo é uma adaptação para satisfazer as necessidades alimentares de cada animal. Existem espécies parasitas de humanos, como o piolho, e vetores de doenças (veja: Dengue), como os pernilongos.
Os insetos comunicam entre si através de sinais químicos, táteis e visuais. Os ferormônios são muito conhecidos por essa comunicação química. As formigas deixam sinais químicos no solo como marcadores do caminho, por exemplo. A luz emitida pelos vagalumes tem função de atração sexual e a produção de som pelas cigarras, gafanhotos e grilos também.
Existem insetos ditos sociais, onde os indivíduos são interdependentes, embora morfologicamente diferentes. Estas organizações desenvolveram-se entre os cupins, formigas, abelhas e vespas. Existe uma hierarquia e nenhum indivíduo pode viver fora da colônia.

http://www.webbee.org.br/didatico/index.html
http://www.faunabrasil.com.br/sistema/
http://infociencia.blogs.sapo.pt/tag/formiga
http://www.geocities.com/apotecionegro/artro.html

Poríferos e celenterados

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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OS SERES VIVOSINVERTEBRADOS
Poríferos e Celenterados

Os poríferos são chamados também de esponjas e os celenterados, de cnidários:

Os poríferos, ou esponjas, surgiram há cerca de 1 bilhão de anos e, provavelmente, se originaram de seres unicelulares e heterotróficos que se agruparam em colônias. Possuem tecidos, mas não apresentam órgãos nem sistemas; são animais exclusivamente aquáticos.

Os celenterados surgiram provavelmente entre 1 bilhão e 800 milhões de anos atrás, depois dos poríferos, portanto. Ao contrário dos poríferos, os celenterados apresentam cavidade digestiva. São também animais exclusivamente aquáticos.

O corpo de uma esponja tem grande número de células que apresentam uma certa divisão de funções. Algumas dessas células são organizadas de tal maneira, que formam pequenos orifícios, denominados poros, em todo o corpo do animal. É por isso que esses seres recebem o nome de poríferos.

O corpo do porífero geralmente tem a forma de uma bolsa. A cavidade interna chama-se átrio. Na parte superior do átrio existe uma abertura, o ósculo, que serve para eliminar a água com as substâncias desnecessárias à nutrição do animal e com os detritos resultantes da atividade celular.

Esses animais não possuem órgãos especializados para digestão, excreção ou reprodução. Todas essas funções são realizadas por diferentes células.

O esqueleto das esponjas é formado por diversos tipos de substâncias. Entre elas, destacam-se as espículas de calcário ou de sílica, com formas variadas, e uma rede de proteína chamada espongina.

Em certas esponjas, o esqueleto não possui espículas, mas tem a rede de espongina bastante desenvolvida. As esponjas desse tipo foram muito utilizadas para banho e limpeza. Como a indústria passou a produzir esponjas sintéticas, o uso das esponjas naturais para essa finalidade foi substituído consideravelmente.

A maioria dos poríferos vive no mar. Podem ser encontrados desde a linha da maré até seis mil metros de profundidade. Alguns são de água doce. Vivem presos nas rochas, nas conchas, ou associados à areia do fundo do mar ou de um lago, etc.

As esponjas são animais filtradores: a água penetra em seu corpo através dos poros e cai no átrio; então certas células retiram gás oxigênio e capturam partículas alimentares presentes na água, ao mesmo tempo que elimina resíduos não aproveitáveis e gás carbônico. Essa água sai do corpo da esponja através do ósculo.

Em sua alimentação, as esponjas retiram da água detritos diversos e microorganismos, como protozoários e certas algas. O alimento assim obtido é digerido no interior de certas células - por isso se diz que os poríferos tem digestão sempre intracelular. As esponjas podem filtrar em uma hora um volume de água centenas de vezes maior que o volume de seu corpo.

A reprodução dos poríferos pode ser assexuada ou sexuada.

A assexuada ocorre, por exemplo, por brotamento. Neste caso, formam-se brotos, que podem se separar do corpo do animal e dar origem a novas esponjas.

A sexuada é menos freqüente que a reprodução assexuada, mas ocorre em alguns tipos de esponjas.

Quando os espermatozóides (gametas masculinos) estão maduros, eles saem pelo ósculo, junto com a corrente de água, e penetram em outra esponja, onde um deles fecunda um óvulo (gameta feminino). Após a fecundação, que é interna, forma-se um ovo ou zigoto, que se transforma em uma larva. Esta larva sai do corpo da esponja, nada e se fixa, por exemplo, em uma rocha, onde se desenvolve até se transformar em uma esponja adulta.

Os celenterados são também chamados cnidários. A água-viva, a caravela, a hidra e os corais são alguns exemplos de celenterados. Eles são aquáticos e vivem principalmente no mar.

A água-viva e a caravela têm vida livre e são levados pelas ondas. Os corais, a hidra e a actínia (anêmona-do-mar) vivem presos a um suporte, por exemplo, no fundo do mar ou sobre rochas.

Todos os celenterados têm o corpo formado por duas camadas de células, interligadas por uma substancia chamada mesogléia, que dá ao animal uma aparência gelatinosa.

Os celenterados podem apresentar-se sob duas formas: os pólipos ou medusas.

Pólipos: Os pólipos têm forma cilíndrica e vivem geralmente fixos, por exemplo, em uma rocha. Na sua extremidade livre, apresenta tentáculos em volta da boca.

Medusas: As medusas são geralmente semi-esféricas, como um guarda-chuva. Seus tentáculos contornam a margem do corpo, no centro do qual fica a boca. São carregadas pelas correntes, pois sua capacidade natatória é limitada.

Os celenterados possuem em seus tentáculos células urticantes ou cnidócitos. Essa células, também chamadas cnidoblastos, servem para a captura de alimentos e para a defesa do animal.

Os cnidócitos, pequenas células na forma de um saco, possuem uma cápsula (nematocisto), dentro da qual se encontra um filamento enrolado, que serve para injetar uma substância urticante. Cada cnidócito possui um cílio (cnidocílio) que, ao ser tocado, dispara um filamento. A ação conjunta de muitos cnidócitos podem ferir um predador ou paralisar rapidamente uma pequena presa. Uma vez descarregado, o cnidócito é substituído.

Quando uma presa é capturada por um celenterado, ela penetra pela boca do animal e chega até uma cavidade digestiva - aliás, o nome desse grupo vem de celo = "cavidade" e entero = "intestino". Nessa cavidade, o alimento é parcialmente digerido e depois absorvido por certas células, no interior das quais a digestão se completa. Por isso se diz que a digestão nos celenterados é extracelular (na cavidade digestiva) e também intracelular (no interior da células). Não possuindo ânus, esses animais eliminam pela boca os resíduos não aproveitáveis.

Os celenterados dividem-se em três grandes grupos:

• hidrozoários, representados pela hidra e pela caravela;
• cifozoários, representados pelas águas-vivas;
• antozoários, representados pelas actínias (ou anêmonas-do-mar) e pelos corais.

A hidra é um celenterado que tem o corpo cilíndrico e em forma de pólipo. Vive em água doce, preferencialmente em águas frias e limpas, presa por uma extremidade a um rocha ou à vegetação aquática. Tem cor verde, parda ou cinza. Algumas hidras podem se locomover dando "cambalhotas".

A hidra pode apresentar reprodução assexuada ou sexuada.

Assexuada por brotamento - No meio do corpo da hidra pode nascer um broto. Este broto cresce e separa-se da hidra-mãe. Em seguida, fixa-se em algum lugar e continua a desenvolver-se independentemente.

A hidra masculina possui testículo, onde se formam os espermatozóides. A hidra feminina possui ovário, onde se desenvolvem os óvulos. A hidra masculina elimina espermatozóides na água; estes deslocam-se até uma hidra feminina, onde o óvulo é fecundado. Forma-se, então, um zigoto ou célula-ovo, que se desenvolve no corpo da hidra feminina, transformando-se em embrião. Depois o embrião separa-se do corpo da hidra-mãe, dando origem a uma pequena hidra, que cresce até formar uma hidra masculina ou feminina adulta.

A caravela não é um animal isolado. É uma colônia de vários pólipos transparentes que, como um todo, ficam flutuando sobre a água do mar. Na colônia, grupos diferentes de pólipos desempenham funções diferentes. Uns são responsáveis pela digestão dos alimentos, outros pela reprodução, outros pela proteção de toda a colônia, e assim por diante.

Physalia physalis é uma espécie de caravela que vive em alto-mar e tem tentáculos compridos de até vinte metros ou mais. As caravelas são muito perigosas devido às substâncias urticantes que fabricam e que podem causar queimaduras às pessoas.

As águas-vivas tem a forma de medusa, lembrando um guarda-chuva aberto, com a bica situada na parte inferior, onde também ficam os tentáculos. Seu tamanho varia muito de uma espécie para outra. Algumas podem ter mais de dois metros de diâmetro. Alimentam-se principalmente de invertebrados e pequenos peixes. Às vezes são lançadas aos milhares na praia pelas ondas.

Na reprodução da água-viva observam-se uma fase sexuada e outra assexuada. A etapa sexuada acontece na forma de medusa, que é a fase mais desenvolvida do ciclo; a assexuada ocorre na forma de pólipo, que é reduzida.

Etapa sexuada - Depois que o espermatozóide fecunda o óvulo, forma-se a célula-ovo ou zigoto. Dele, desenvolve-se uma larva que dará origem a um pequeno pólipo.

Etapa assexuada - O pólipo cresce e reproduz-se assexuadamente dando origem a novas medusas, que vão se tornando adultas e se transformando em novas águas-vivas.

As actínias só existem na forma de pólipos. Parecem uma flor e, por isso, são chamadas também de anêmonas-do-mar. Possuem cores e tamanhos variados, medindo desde alguns milímetros até um metro de diâmetro. Esses animais são encontrados fixos a um suporte: uma rocha, um pedaço de madeira ou carapaças de outros animais. Alimentam-se de moluscos, crustáceos e outros invertebrados e até de pequenos peixes.

Os corais são colônias formadas por pequenos pólipos, que se reproduzem assexuadamente por brotamento. Estes pólipos unidos fabricam uma substância calcária, compondo imensas colônias. Nas colônias, os indivíduos executam determinadas funções. Alguns são responsáveis pela captura de alimentos, outros fazem a proteção da colônia e outros ainda se encarregam da reprodução.

Os corais apresentam as mais variadas cores, como vermelho, branco, rosa, laranja ou amarelo. Por isso são utilizados na decoração de aquários e até na fabricação de jóias. Vivem em águas quentes, geralmente até à profundidade de 36 metros, entretanto já foram encontrados alguns corais vivendo a 7.500 metros de profundidade.

Quando morrem, seus esqueletos permanecem intactos e servem de suporte para outros pólipos da colônia, formando, assim, os recifes de corais. Em muitos casos, esses recifes oferecem perigo às embarcações, constituindo verdadeiras armadilhas submarinas. A Grande Barreira de Recifes, na costa nordeste da Austrália, resulta principalmente da acumulação de esqueletos calcários de corais e é um sério obstáculo à navegação.

- C U R I O S I D A D E S -

Medusas - Existem medusas de doze milímetros até dois metros de diâmetro, como as do gênero Cyanea, que vivem no oceano Ártico e possuem tentáculos de até trinta metros de comprimento.

No oceano Índico e Pacífico vivem medusas chamadas vespas-do-mar, que possuem veneno capaz de matar um homem. Nas águas brasileiras, as espécies mais comuns pertencem ao gênero Rhizostoma e não são tão perigosas para o ser humano.

No verão, são comuns os acidentes provocados por águas-vivas em pessoas que freqüentam as praias. A gravidade vai depender da extensão do corpo que for atingida.

A presença de cnidócitos garante uma eficiente defesa do animal, que tem poucos predadores. Mas a tartaruga, seu principal predador, possui na boca e no esôfago um revestimento protéico de queratina, que a protege contra o líquido urticante. A queratina também está presente na formação da carapaça das tartarugas.

As medusas são bastante gulosas. A Aurelia, pro exemplo, muito comum em todo o mundo, mede cerca de 25 centímetros de diâmetro e é capaz de matar diz filhotes de salmão por hora.

Elas se locomovem através de um sistema de propulsão a jato. Quando contraem os músculos da borda do corpo, expulsam um forte jato de água que as impulsiona para a frente.

Em 1991, 2.500 medusas passaram nove dias em órbita a bordo do ônibus espacial norte-americano Columbia. Foram escolhidas para estudo do efeito da falta de gravidade sobre seus processos de reprodução, crescimento e locomoção.

Aqui na Terra, as medusas são utilizadas em pesquisas de farmacologia marinha. Elas produzem uma fotoproteína que, ao entrar em contato com o cálcio, fica luminosa. Assim, procura-se descobrir o papel do cálcio em contrações musculares.

As sócias dos corais - Os pólipos que formam os corais contam com a ajuda de pequenas algas unicelulares que vivem no interior de seus tecidos. Essas algas auxiliam na produção de carbonato de cálcio, que forma os esqueletos produzidos pelos pólipos.

Os esqueletos que vão sendo construídos tem as mais variadas formas, que se adaptam bem ao ambiente em que se encontram. Os corais em forma de cérebro são encontrados mais facilmente no fundo do mar; os corais poritos e acróporos vivem nas regiões superficiais, pois suportam por mais tempo o impacto das ondas sem se quebrarem.

O perigo ronda os corais - Na década de 1960, por motivos desconhecidos, apareceu nos recifes do oceano Pacífico um número alarmante de estrelas-do-mar chamadas coroa-de-espinhos (gênero Acanthaster). No ano de 1965, elas destruíram cerca de 360 km² de recifes na Austrália.

A coroa-de-espinhos tem dezesseis braços e é uma devoradora de pólipos de coral. Para se alimentar, ela everte seu estômago e espalha sobre eles seu líquido digestivo.

Muitos biólogos acreditam que o aumento do número dessas estrelas seja devido ao desequilíbrio ecológico causado pelo homem.

A guarda-costas do ermitão - O caranguejo-ermitão, ou paguro, esconde seu abdome mole dentro de conchas vazias de moluscos.

Este caranguejo costuma capturar algumas anêmonas alojando-as sobre a concha. A anêmona, assim instalada, não precisa locomover-se e ainda tem um suprimento constante dos restos alimentares do ermitão. Em compensação, a anêmona, com o líquido urticante de seus tentáculos, serve como verdadeira guarda-costas para o caranguejo, afastando predadores desse animal, como alguns polvos.

Assim, o caranguejo e a anêmona estabelecem uma relação de mutualismo, em que ambos são beneficiados.