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terça-feira, 11 de outubro de 2016

Teoria de conjuntos

Resolveremos dois problemas envolvendo teoria de conjuntos, utilizando as operações de união, intersecção, diferença e complementar de um conjunto.

Exemplo 1. A segunda fase de um concurso público foi constituída de dois problemas: 340 candidatos acertaram somente um problema. 300 acertaram o segundo. 120 acertaram os dois problemas e 250 erraram o primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova?

Solução: Vamos fazer a distinção dos conjuntos

Conjunto A: conjunto dos candidatos que acertaram o primeiro problema
Conjunto B: conjunto dos candidatos que acertaram o segundo problema
Conjunto S: conjunto dos candidatos que fizeram a prova

Analisando as informações dadas, temos que:

1º. 120 acertaram os dois problemas → n(A∩B) = 120

2º. 300 candidatos acertaram o segundo problema→ note que não foi dito que acertaram somente o segundo problema. Para determinarmos quantos candidatos acertaram somente o segundo problema, faremos: 300 – 120 = 180.

3º. 340 candidatos acertaram somente um problema→ como 180 acertaram somente o segundo problema, fazendo 340 – 180 = 160 é o número de candidatos que acertaram somente o primeiro problema.

4º. 250 candidatos erraram o primeiro problema→ nesse grupo estão incluídos os candidatos que acertaram somente o segundo problema e os que erraram os dois problemas. Dessa forma, 250 – 180 = 70 é o número de candidatos que erraram os dois problemas.

Agora podemos responder à pergunta do problema.
Total = número de candidatos que acertaram somente o primeiro problema + número de candidatos que acertaram somente o segundo problema + número de candidatos que acertaram os dois problemas + número de candidatos que erraram os dois problemas

Ou seja,
Total = 160 + 180 + 120 + 70 = 530
Assim, concluímos que 530 candidatos fizeram a prova.

Exemplo 2. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 7}, B = {3, 4,5} e C = {1, 5, 6, 7}, determine o conjunto D, sabendo que A ∩ D = {3, 7}, B ∩D = {3, 5}, C ∩D = {5, 6, 7} e que n(D) = 4.

Solução: sabemos que o conjunto D tem quatro elementos.
Segue que:

Como o conjunto D possui quatro elementos, podemos concluir que D = {3, 5, 6, 7}
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