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terça-feira, 13 de setembro de 2016

Racionalização de Denominadores


racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional.
Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical do denominador.
Iremos analisar três casos em particular.

Quando o Denominador é uma Raiz Quadrada

Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.
Vamos analisar a seguinte fração:
É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos  por ele mesmo. Vejamos:
Partimos de  e chegamos a 5.
A conversão foi realizada em bem mais passos que o necessário, apenas para que você se recorde das principais propriedades da radiciação, que torna a conversão possível.
Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois  e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:
Neste nosso exemplo  é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.
Genericamente o fator racionalizante de um denominador  é o próprio .

Exemplos


Quando o Denominador é uma Raiz Não Quadrada

Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.
Observe a fração a seguir:
Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:
Perceba que no caso anterior havíamos partido de  e passamos por 51, o que nos permitiu chegarmos a 5.
Note que neste caso, porém, partindo-se de  chegamos a  e como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.
Então o que precisamos fazer?
Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a  e não a .
Qual fator é este?
É muito simples. Veja o ponto chave abaixo:
Qual é o número que somado a 1 dá 3?
É dois, pois 3 - 1 = 2.
Então o fator racionalizante da fração é , pois:
Logo:
Podemos então concluir que o fator racionalizante de um denominador  é igual a .

Exemplos


Quando o Denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados

Agora no último caso a ser tratado, veremos como devemos proceder quando no denominador da fração temos uma soma ou diferença de um ou dois radicais com índice igual a 2.
Vejamos a fração abaixo:
Como pode observar, os métodos analisados acima não nos permitem racionalizar este tipo de fração. Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos.
Mais especificamente, neste produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Algebricamente temos:
Conseguiu perceber como podemos utilizar este conceito para racionalizarmos a fração proposta?
Parabéns se conseguiu, mas se não conseguiu tudo, daqui a pouco você estará apto a fazê-lo.
Vamos ver o que acontece quando substituímos a por  e b por :
Percebeu agora?
Observe que originalmente tínhamos a expressão  que multiplicamos por , perceba que invertemos o sinal, trocamos "+" por "-", se tivéssemos "-", o teríamos trocado por "+".
Como elevamos  e  ao quadrado, eliminamos assim os radicais.
Como nos casos anteriores, devemos multiplicar ambos os termos da fração pelo fator racionalizante, que neste exemplo é :
Neste último caso o fator racionalizante de um denominador  será  e vice-versa.

Exemplos

Neste último exemplo convertemos tanto 18 em . 32, quanto 12 em 22 . 3 através da decomposição em fatores primos, que você pode revisar se for o caso. Nós também disponibilizamos no site uma calculadora para a fatoração de números naturais, que pode lhe ajudar muito a entender melhor como funciona o método de decomposição de um número natural em seus fatores primos.
www.matematicadidatica.com.br

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