Pirâmides

Pirâmides

Sejam uma região poligonal convexa A1A2A3...An, contida em um plano α. Consideramos todos os segmentos de reta que possuem em extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo V:

A união de todos esses segmentos de reta é um poliedro chamado de pirâmide limitada ou simplesmente pirâmide de vértice V e base A1A2A3...An . Indicamos essa pirâmide por VA1A2A3...An.

Elementos da pirâmide

• O ponto V é chamado de vértice da pirâmide.

• A região poligonal A1A2A3...An é chamada de base da pirâmide, sendo A1,A2,A3,...An os vértices da base.

• O polígono A1A2A3...An que limita a base é chamado de polígono da base da pirâmide.

• As demais faces, exceto a base, são chamadas de faces laterais da pirâmide. Por exemplo, os triângulos A1VA2, A2VA3, A3VA4,... são faces laterais.

• Os lados da base são chamados de arestas da base da pirâmide. Por exemplo, , ... são arestas da base.

• As demais arestas, exceto as das bases, são chamadas de arestas laterais da pirâmide. Por exemplo, , são arestas laterais.

• A distância entre o vértice V e o plano da base é chamada de altura da pirâmide.

• A soma das áreas de todas as faces laterais é chamada de área lateral da pirâmide.

• A soma da área lateral com a área da base é chamada de área total da pirâmide.

Pirâmide Regular

Uma pirâmide é regular se, e somente seu polígono da base é regular e a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base é o centro da base.


Observe que em toda pirâmide regular as arestas laterais são congruentes entre si e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.

Apótema de uma pirâmide regular

Chama-se apótema de uma pirâmide regular todo segmento de reta cujos extremos são o vértice da pirâmide e o ponto de um dos lados da base.




Note que o apótema da pirâmide regular é a altura de um triângulo isósceles que é face lateral da pirâmide.

Teorema de Pitágoras e a pirâmide regular

Em uma pirâmide regular, sejam:

• H a medida da altura;
• m a medida do apótema da pirâmide;
• r a medida do apótema da base;
• b a medida de uma aresta da base;
• ℓ a medida de uma aresta lateral;
• R o raio da circunferência circunscrita ao polígono da base.

Pelo teorema de Pitágoras, temos:



Volume de uma pirâmide qualquer

O volume V de uma pirâmide qualquer é igual a do produto da área B de sua base por sua altura H.