Circunferências

CIRCUNFERÊNCIA

É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r.

O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

1. Equação reduzida



Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se:

d (Q, P) = r ou



Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x - a)2 + (y - b)2 = r2 (equação reduzida da circunferência).

Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será:

x2 + y2 = r2

2. Equação geral ou normal

Desenvolvendo a equação reduzida (x - a)2 + (y - b)2 = r2, vamos obter:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - r2 = 0

Portanto, x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 é a equação geral da circunferência.

Observação – A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na forma x2 + y2 + Ax - By + C = 0, onde

A = -2a, B = -2b e C = a2 + b2 - r2

Aplicação

Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2.

Solução:

Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:

Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2 (x - 1)2 + (y - 5)2 = 22

(x - 1)2 + (y - 5)2 = 4 (equação reduzida)

(x - 1)2 + (y - 5)2 = 4

x2 - 2x + 1 + y2 - 10y + 25 - 4 = 0

x2 + y2 - 2x - 10y + 22 = 0 (equação geral)


POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência C de centro (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e C são: