Lei dos Cossenos

Considere o triângulo ABC na figura abaixo:

AH = altura do triângulo em relação à base CB.
Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.

Podemos escrever no triângulo AHB:
AH² + HB² = c² (Teorema de Pitágoras).

Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

b² = CH² + AH²Mas, CH = CB – HB = a – HB
Portanto: b² = (a - HB)² + AH²b² = a² – 2.a.HB + HB² + AH²Observe que HB² + AH² = AB² = c²Então fica: b² = a² + c² – 2.a.HB
No triângulo retângulo AHB, podemos escrever:
cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c
Daí, HB = c.cosB
Substituindo, fica:
b² = a² + c² – 2.a.c. cosB

Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo coseno do angulo que eles formam.

Isto é o TEOREMA DOS COSENOS – TC.

Analogamente, poderemos escrever:
a² = b² + c² – 2.b.c.cosA
c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

Em resumo:
a² = b² + c² – 2.b.c.cosA
b² = a² + c² – 2.a.c.cosB
c² = a² + b² – 2.a.b.cosC
Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado?
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x² = 4² + 8² – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2.
x² = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:
x² = 4².3 Þ x = 4Ö3 cm

Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.

R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cosenos por:
PQ² = R² + R² – 2.R.R.cos60º = 2R² – R² (Obs: cos60º = 1/2)
PQ² = R², de onde conclui-se: PQ = R.
CONCLUSÃO:
A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares.
Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexágonos regulares.