Produtos Notáveis

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis	Exemplos
(a+b)2 = a2+2ab+b2	(x+3)2 = x2+6x+9
(a-b)2 = a2-2ab+b2	(x-3)2 = x2-6x+9
(a+b)(a-b) = a2-b2	(x+3)(x-3) = x2-9
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab	(x+2)(x+3) = x2+5x+6
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3	(x+2)3 = x3+6x2+12x+8
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3	(x-2)3 = x3-6x2+12x-8
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3	(x+2)(x2-2x+4) = x3+8
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3	(x-2)(x2+2x+4) = x3-8

ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) Desenvolva:

a) (3x+y)²

(3x+y)² = (3x)²+2.3x.y+y² = 9x²+6xy+y²

b) ((1/2)+x²)²

((1/2)+x²)² = (1/2)²+2.(1/2).x²+(x²)² = (1/4) +x²+x⁴

c) ((2x/3)+4y³)²

((2x/3)+4y³)² = (2x/3)²-2.(2x/3).4y³+(4y³)²= (4/9)x²-(16/3)xy³+16y⁶

d) (2x+3y)³

(2x+3y)³ = (2x)³+3.(2x)².3y+3.2x.(3y)²+(3y)³ = 8x³+36x²y+54xy²+27y³

e) (x⁴+(1/x²))³

(x⁴+(1/x²))³ = (x⁴)³+3.(x⁴)².(1/x²)+3.x⁴.(1/x²)²+(1/x²)³ = x¹²+3x⁶+3+(1/x⁶)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)

(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)²-(4y/5)² = (4/9)x²-(16/25)y²

2) Efetue as multiplicações:

a) (x-2)(x-3)

(x-2)(x-3) = x²+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x²-5x+6

b) (x+5)(x-4)

(x+5)(x-4) = x²+(5+(-4))x+5.(-4) = x²+x-20

3) Simplifique as expressões:

a) (x+y)²–x²-y²

(x+y)²–x²-y² = x²+2xy+y²–x²-y² = 2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x²+(2+(-7))x+2.(-7) + x²+(-5+3)x+3.(-5) =

x²-5x-14+ x²-2x-15 = 2x²-7x-29

c) (2x-y)²-4x(x-y)

(2x-y)²-4x(x-y) = (2x)²-2.2x.y+y²-4x²+4xy = 4x²-4xy+y²-4x²+4xy = y²