Lei dos cossenos

Marcelo Rigonatto

Triângulo

Sabemos que as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente são válidas somente em um triângulo retângulo. Quando estamos trabalhando com triângulos quaisquer, acutângulos ou obtusângulos, no entanto, essas relações não são válidas. Para esses tipos de triângulo teremos que estabelecer outras identidades trigonométricas, chamadas de lei dos senos e lei dos cossenos. Faremos, aqui, o estudo da lei dos cossenos e suas aplicabilidades.

Vejamos a demonstração da lei dos cossenos:

Considere o triângulo acutângulo abaixo, sendo CH a altura relativa ao lado AB.

No triângulo BCH, temos que:

No triângulo ACH, temos que:

Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:

De forma análoga, obtemos:

As três igualdades anteriores são chamadas de Lei dos Cossenos, que diz: “Num triângulo qualquer, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado”.

Lembre-se que a Lei dos cossenos vale para qualquer triângulo.

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine o valor de x no triângulo ABC acutângulo abaixo.

Solução: Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

Exemplo 2. Determine o valor de y no triângulo obtusângulo abaixo.

Solução: Lembrando que a lei dos cossenos também é válida para o triângulo obtusângulo, temos que: