Seja "p(x)" o polinômio dado por:
p(x) = an . xn + an–1 . xn–1 + an–2 . xn–2 + . . . + a2 . x2 + a1 . x + a0.
Os elementos ai
são chamados de coeficientes. ( i = 0, 1, 2, . . . , n )
O número n 
.
O "x" é a incógnita da equação.
Chama-se equação polinomial, em, a toda equação da forma:
p(x) = 0.
p(x) = an . xn + an–1 . xn–1 + an–2 . xn–2 + . . . + a2 . x2 + a1 . x + a0.
Os elementos ai
são chamados de coeficientes. ( i = 0, 1, 2, . . . , n )O número n
.O "x" é a incógnita da equação.
Chama-se equação polinomial, em
, a toda equação da forma:p(x) = 0.
Grau de p(x)
O grau do polinômio p(x) é igual ao valor do maior expoente da incógnita cujo coeficiente não seja zero.
Exemplo:
O plonômio p(x) = 3x4 + 2x3 – 5x2 – x + 6.
É um polinômio do 4º grau ou de grau 4.
Exemplo:
O plonômio p(x) = 3x4 + 2x3 – 5x2 – x + 6.
É um polinômio do 4º grau ou de grau 4.
Raízes
Se p( 
) = 0, então, é uma raiz da equação polinomial p(x) = 0.
) = 0, então, é uma raiz da equação polinomial p(x) = 0.Teorema fundamental da álgebra
O teorema fundamental da álgebra afirma que qualquer equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem pelo menos uma raiz complexa.
Decomposição
O polinômio p(x) = an . xn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0, pode ser decomposto em an . (x – xn) . (x – xn–1) . . . (x – x2) . (x – x1), onde cada um dos xi são raízes.
Dessa forma, toda equação polinomial de grau "n" tem exatamente "n" raízes complexas não necessariamente distintas e caso uma raiz seja imaginária o seu conjugado também será uma raiz.
p(x) = (x – x1) . q(x) ( novo polinômio de grau n – 1)
q(x), também possui pelo menos uma raiz.
q(x) = (x – x2) . r(x) ( novo polinômio de grau n – 2)
r(x), também possui pelo menos uma raiz.
r(x) = (x – x3) . s(x) ( novo polinômio de grau n – 3)
Seguindo assim até a última raiz, tem-se então que:
p(x) = an . (x – x1) . (x – x2) . . . (x – xn)
Dessa forma, toda equação polinomial de grau "n" tem exatamente "n" raízes complexas não necessariamente distintas e caso uma raiz seja imaginária o seu conjugado também será uma raiz.
p(x) = (x – x1) . q(x) ( novo polinômio de grau n – 1)
q(x), também possui pelo menos uma raiz.
q(x) = (x – x2) . r(x) ( novo polinômio de grau n – 2)
r(x), também possui pelo menos uma raiz.
r(x) = (x – x3) . s(x) ( novo polinômio de grau n – 3)
Seguindo assim até a última raiz, tem-se então que:
p(x) = an . (x – x1) . (x – x2) . . . (x – xn)
Multiplicidade de uma raiz
Multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que um valor de "x" é raiz de uma equação polinomial.
Exemplo:
A equação: 4(x – 2)3 . (x + 2) = 0 tem raiz x = 2 com multiplicidade 3 e raiz x = – 2 com multiplicidade 1.
Exemplo:
A equação: 4(x – 2)3 . (x + 2) = 0 tem raiz x = 2 com multiplicidade 3 e raiz x = – 2 com multiplicidade 1.
Raízes racionais
Se uma equação polinomial an . xn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0 = 0 de coeficientes inteiros admite uma raiz racional p/q, p e q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
Exemplo:
2x3 – x2 – 2x + 1 = 0 então:
p é divisor de 1, logo: ± 1.
q é divisor de 2, logo: ± 2, ± 1.
Assim os valores possíveis para p/q são: ± 1, ± 1/2.
Testando esses valores tem-se:
p(1) = 2 . 13 – 12 – 2 . 1 + 1 = 2 . 1 – 1 – 2 + 1 = 3 – 3 = 0
p(–1) = 2 . (– 1)3 – (– 1)2 – 2 . (– 1) + 1 = 2 . (– 1) – (1) + 2 + 1 = – 2 – 1 + 3 = 0
p(1/2) = 2 . (1/2)3 – (1/2)2 – 2 . (1/2) + 1 = 2 . (1/8) – (1/4) – 1 + 1 = 1/4 – 1/4 = 0
Nem precisa testar o – 1/2, pois a equação só tem 3 raízes e já foram encontradas.
Exemplo:
2x3 – x2 – 2x + 1 = 0 então:
p é divisor de 1, logo: ± 1.
q é divisor de 2, logo: ± 2, ± 1.
Assim os valores possíveis para p/q são: ± 1, ± 1/2.
Testando esses valores tem-se:
p(1) = 2 . 13 – 12 – 2 . 1 + 1 = 2 . 1 – 1 – 2 + 1 = 3 – 3 = 0
p(–1) = 2 . (– 1)3 – (– 1)2 – 2 . (– 1) + 1 = 2 . (– 1) – (1) + 2 + 1 = – 2 – 1 + 3 = 0
p(1/2) = 2 . (1/2)3 – (1/2)2 – 2 . (1/2) + 1 = 2 . (1/8) – (1/4) – 1 + 1 = 1/4 – 1/4 = 0
Nem precisa testar o – 1/2, pois a equação só tem 3 raízes e já foram encontradas.
Raízes imaginárias
Se um número complexo a + bi é raiz de uma equação polinomial de coeficientes reais, então o seu conjugado também é raiz dessa equação.
Assim, numa equação polinomial com coeficientes reais de grau ímpar há, no mínimo, uma raiz real.
Exemplo:
Sendo 2 + i uma das raízes da equação x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0 encontre as demais.
Se 2 + i é raiz então 2 – i também é raiz, logo se tem:
p(x) = [x – (2 + i)] . [x – (2 – i)] . q(x) = 0
p(x) = [(x – 2) + i] . [(x – 2) – i] . q(x) = 0
p(x) = (x – 2)2 – i2] . q(x) = 0
p(x) = [x2 – 4x + 4 – (– 1)] . q(x) = 0
p(x) = (x2 – 4x + 5) . q(x) = 0
Como p(x) é do 3º grau, então q(x) é do 1º grau, isto é, q(x) = ax + b
x3 – 6x2 + 13x – 10 = (x2 – 4x + 5) . (ax + b)
x3 – 6x2 + 13x – 10 = ax3 + bx2 – 4ax2 – 4bx + 5ax + 5b
x3 – 6x2 + 13x – 10 = ax3 + (b – 4a)x2 + (5a – 4b)x + 5b
Assim, 1 = a e b = – 2
Daí, em q(x) = 0 tem-se:
x – 2 = 0, então: x = 2.
As raízes são: 2 + i, 2 – i, 2.
Assim, numa equação polinomial com coeficientes reais de grau ímpar há, no mínimo, uma raiz real.
Exemplo:
Sendo 2 + i uma das raízes da equação x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0 encontre as demais.
Se 2 + i é raiz então 2 – i também é raiz, logo se tem:
p(x) = [x – (2 + i)] . [x – (2 – i)] . q(x) = 0
p(x) = [(x – 2) + i] . [(x – 2) – i] . q(x) = 0
p(x) = (x – 2)2 – i2] . q(x) = 0
p(x) = [x2 – 4x + 4 – (– 1)] . q(x) = 0
p(x) = (x2 – 4x + 5) . q(x) = 0
Como p(x) é do 3º grau, então q(x) é do 1º grau, isto é, q(x) = ax + b
x3 – 6x2 + 13x – 10 = (x2 – 4x + 5) . (ax + b)
x3 – 6x2 + 13x – 10 = ax3 + bx2 – 4ax2 – 4bx + 5ax + 5b
x3 – 6x2 + 13x – 10 = ax3 + (b – 4a)x2 + (5a – 4b)x + 5b
Assim, 1 = a e b = – 2
Daí, em q(x) = 0 tem-se:
x – 2 = 0, então: x = 2.
As raízes são: 2 + i, 2 – i, 2.
Relações de Girard
As relações estabelecidas entre as raízes e os coeficientes de uma equação polinomial são ditas relações de Girard.
Uma equação polinomial da forma:
an . xn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0 = 0
Com sinais alternados, a soma das raízes, a soma dos produtos das raízes duas a duas, a soma das raízes três a três, e assim até o produto de todas as raízes, tem-se:
Numa equação, por exemplo, de grau 4 na forma:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + f = 0
Sendo x1, x2, x3, x4, as 4 raízes.
Então, as relações de Girard são:
x1 + x2 + x3 + x4 = – b / a
x1. x2 + x1 . x3 + x1 . x4 + x2 . x3 + x2 . x4 + x3 . x4 = c / a
x1 . x2 . x3 + x1 . x2 . x4 + x1 . x3 . x4 + x2 . x3 . x4 = – d / a
x1 . x2 . x3 . x4 = f / a
Numa equação de grau 3 na forma:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Sendo x1, x2, x3 as 3 raízes.
x1 + x2 + x3 = – b / a
x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c / a
x1 . x2 . x3 = – d / a
an . xn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0 = 0
Com sinais alternados, a soma das raízes, a soma dos produtos das raízes duas a duas, a soma das raízes três a três, e assim até o produto de todas as raízes, tem-se:
Numa equação, por exemplo, de grau 4 na forma:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + f = 0
Sendo x1, x2, x3, x4, as 4 raízes.
Então, as relações de Girard são:
x1 + x2 + x3 + x4 = – b / a
x1. x2 + x1 . x3 + x1 . x4 + x2 . x3 + x2 . x4 + x3 . x4 = c / a
x1 . x2 . x3 + x1 . x2 . x4 + x1 . x3 . x4 + x2 . x3 . x4 = – d / a
x1 . x2 . x3 . x4 = f / a
Numa equação de grau 3 na forma:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Sendo x1, x2, x3 as 3 raízes.
x1 + x2 + x3 = – b / a
x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c / a
x1 . x2 . x3 = – d / a
Equações recíprocas
Uma equação polinomial em que os coeficientes equidistantes dos extremos forem iguais é dita equação recíproca de 1ª classe (espécie).
Exemplo:
2x5 + 3x4 – 9x3 – 9x2 + 3x + 2 = 0
2x5 + 3x4 – 9x3 – 9x2 + 3x + 2 = 0
Uma equação polinomial cujos coeficientes equidistantes dos extremos forem opostos é ditaequação recíproca de 2ª classe (espécie).
Exemplo:
2x5 – 3x4 + 9x3 – 9x2 + 3x – 2 = 0
2x5 – 3x4 + 9x3 – 9x2 + 3x – 2 = 0
De acordo com o grau da equação recíproca se diz que ela é par ( se "n" for par ) ou ímpar ( se "n" for ímpar ).
Observações
1 — Uma equação recíproca de grau ímpar sempre terá "– 1" como raiz se for de 1ª espécie e terá "1" como raiz se for de 2ª espécie.
2 — Uma equação recíproca de grau par sempre terá "1" e "– 1" como raízes se for de 2ª espécie.
3 — Uma equação recíproca de grau par de 1ª espécie de termo central nulo sempre terá "1" e "– 1" como raízes.
2 — Uma equação recíproca de grau par sempre terá "1" e "– 1" como raízes se for de 2ª espécie.
3 — Uma equação recíproca de grau par de 1ª espécie de termo central nulo sempre terá "1" e "– 1" como raízes.
Dispositivo de Briot-Ruffini
Pode-se reduzir o grau de uma equação polinomial sabendo-se uma raiz através do dispositivo prático de Briot-Ruffini:
1 — Escreve-se a raiz e depois os coeficientes em ordem decrescente de seus expoentes.
2 — Repete o coeficiente do termo de maior expoente.
3 — Multiplica-se o coeficiente do termo de maior expoente pela raiz e soma-se com o próximo coeficiente.
4 — Multiplica-se o coeficiente resultante do item 3 pela raiz e soma-se com o próximo coeficiente.
5 — Repete-se o item 4 até não ter mais nenhum.
1 — Escreve-se a raiz e depois os coeficientes em ordem decrescente de seus expoentes.
2 — Repete o coeficiente do termo de maior expoente.
3 — Multiplica-se o coeficiente do termo de maior expoente pela raiz e soma-se com o próximo coeficiente.
4 — Multiplica-se o coeficiente resultante do item 3 pela raiz e soma-se com o próximo coeficiente.
5 — Repete-se o item 4 até não ter mais nenhum.
Exemplo:
A equação x3 – 2x – 1 = 0 tem x = – 1 como raiz, então:
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "1x3 + 0x2 – 2x – 1" ( 1º item )
|
– 1 | 1 0 – 2 – 1 ( 2º item )
| 1
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "1 . (–1) + 0 = –1" ( 3º item )
| 1 – 1
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "–1 . (–1) + (–2) = –1" ( 4º item )
| 1 – 1 – 1
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "–1 . (–1) – 1 = 0" ( 5º item )
| 1 – 1 – 1 | 0
Como – 1 é raiz, escreve-se x – (– 1) = x + 1, e com os coeficiente 1, – 1 e – 1 escreve-se 1x2 – 1x – 1, daí, tem-se:
(x + 1) . (x2 – x – 1) = 0.
Caso se deseje encontrar as outras raízes, basta resolver a equação do 2º grau x2 – x – 1 = 0.
A equação x3 – 2x – 1 = 0 tem x = – 1 como raiz, então:
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "1x3 + 0x2 – 2x – 1" ( 1º item )
|
– 1 | 1 0 – 2 – 1 ( 2º item )
| 1
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "1 . (–1) + 0 = –1" ( 3º item )
| 1 – 1
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "–1 . (–1) + (–2) = –1" ( 4º item )
| 1 – 1 – 1
– 1 | 1 0 – 2 – 1 "–1 . (–1) – 1 = 0" ( 5º item )
| 1 – 1 – 1 | 0
Como – 1 é raiz, escreve-se x – (– 1) = x + 1, e com os coeficiente 1, – 1 e – 1 escreve-se 1x2 – 1x – 1, daí, tem-se:
(x + 1) . (x2 – x – 1) = 0.
Caso se deseje encontrar as outras raízes, basta resolver a equação do 2º grau x2 – x – 1 = 0.
Exercícios Resolvidos
R01 — Determine o valor de "k" para que a equação (k2 – 9)x3 + (k – 3)x2 + (k + 3)x + k = 0 seja:
a) do 2º grau b) do 1º grau
a) do 2º grau b) do 1º grau
a) Para ser do 2º grau é necessário que o coeficiente do x3 seja zero e o coeficiente do x2 não seja zero.
k2 – 9 = 0
k2 = 9
k' = – 3 e k'' = 3.
k – 3
0
k 3
Se k = 3 desaparece o termo x3, mas também o termo x2, então não seria de grau 2, portanto:
para se de grau 2, é necessário que k = – 3.
b) Para ser do 1º grau é necessário que os coeficientes dos termos x3 e x2 sejam zero e o coeficiente do termo x não seja zero.
Logo, k = 3, pois zera o coeficiente do x3 e do x2 e não zera o coeficiente do x.
k2 – 9 = 0
k2 = 9
k' = – 3 e k'' = 3.
k – 3
0k
3Se k = 3 desaparece o termo x3, mas também o termo x2, então não seria de grau 2, portanto:
para se de grau 2, é necessário que k = – 3.
b) Para ser do 1º grau é necessário que os coeficientes dos termos x3 e x2 sejam zero e o coeficiente do termo x não seja zero.
Logo, k = 3, pois zera o coeficiente do x3 e do x2 e não zera o coeficiente do x.
R02 — Determine o valor de "k" que para 2 seja raiz da equação 2x3 – 6x2 + kx + 4 = 0.
Se 2 é raiz então p(2) = 0, logo:
2 . 23 – 6 . 22 + k . 2 + 4 = 0
2 . 8 – 6 . 4 + 2k + 4 = 0
16 – 24 + 4 + 2k = 0
– 4 + 2k = 0
2k = 4
k = 2.
2 . 23 – 6 . 22 + k . 2 + 4 = 0
2 . 8 – 6 . 4 + 2k + 4 = 0
16 – 24 + 4 + 2k = 0
– 4 + 2k = 0
2k = 4
k = 2.
R03 — Escreva e equação polinomial de 4º grau que tem – 1 como raíz de multiplicidade 3 e a outra raiz 2.
p(x) = [x – (– 1)]3 . (x – 2) = 0
(x + 1)3 . (x – 2) = 0
( x3 + 3 . x2 . 1 + 3 . x . 12 + 13 ) . ( x – 2 ) = 0
( x3 + 3x2 + 3x + 1 ) . ( x – 2 )
x4 – 2 . x3 + 3 . x3 – 6 . x2 + 3 . x2 – 6 . x + x – 2 = 0
x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0.
(x + 1)3 . (x – 2) = 0
( x3 + 3 . x2 . 1 + 3 . x . 12 + 13 ) . ( x – 2 ) = 0
( x3 + 3x2 + 3x + 1 ) . ( x – 2 )
x4 – 2 . x3 + 3 . x3 – 6 . x2 + 3 . x2 – 6 . x + x – 2 = 0
x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0.
R04 — Se x = – 1 é raiz da equação x3 + ax2 + 3x + 10 = 0, obtenha as outras duas raízes.
Se – 1 é raiz então p(– 1) = 0, então:
(– 1)3 + a . (– 1)2 + 3 . (– 1) + 10 = 0
– 1 + a – 3 + 10 = 0
a = – 6
A equação é x3 – 6x2 + 3x + 10 = 0 e – 1 é uma raiz.
Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini:
– 1 | 1 – 6 3 10
| 1 – 7 10 | 0
daí, tem-se:
x2 – 7x + 10 = 0
= (– 7)2 – 4 . 1 . 10 = 49 – 40 = 9
x' = (7 + 3) / 2 = 10/2 = 5
x'' = (7 – 3) / 2 = 4/2 = 2
As raízes são –1, 2, 5.
(– 1)3 + a . (– 1)2 + 3 . (– 1) + 10 = 0
– 1 + a – 3 + 10 = 0
a = – 6
A equação é x3 – 6x2 + 3x + 10 = 0 e – 1 é uma raiz.
Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini:
– 1 | 1 – 6 3 10
| 1 – 7 10 | 0
daí, tem-se:
x2 – 7x + 10 = 0
= (– 7)2 – 4 . 1 . 10 = 49 – 40 = 9x' = (7 + 3) / 2 = 10/2 = 5
x'' = (7 – 3) / 2 = 4/2 = 2
As raízes são –1, 2, 5.
R05 — Resolva a equação x3 – 2x2 + x – 2 = 0 sabendo que "i" é uma de suas raízes.
Se "i" é uma raiz, então "– i" é outra raiz, utilizando o método de Briot-Ruffini:
– i | 1 – 2 1 – 2
i | 1 – i – 2 2i | 0
| 1 – 2 | 0
daí, x – 2 = 0
x = 2.
S = { 2, i, – i }
– i | 1 – 2 1 – 2
i | 1 – i – 2 2i | 0
| 1 – 2 | 0
daí, x – 2 = 0
x = 2.
S = { 2, i, – i }
R06 — Resolva a equação x3 – 2x2 – 2x + 4 = 0.
Pode ser resolvida por fatoração de termos semelhantes:
x2( x – 2) – 2(x – 2) = 0
(x – 2) . (x2 – 2) = 0
Um produto dá zero se um dos dois for zero, assim:
x – 2 = 0 ou x2 – 2 = 0
Em x – 2 = 0 tem-se: x = 2
Em x2 – 2 = 0 tem-se:
x' =
e x'' = –
S = { 2,, – }
x2( x – 2) – 2(x – 2) = 0
(x – 2) . (x2 – 2) = 0
Um produto dá zero se um dos dois for zero, assim:
x – 2 = 0 ou x2 – 2 = 0
Em x – 2 = 0 tem-se: x = 2
Em x2 – 2 = 0 tem-se:
x' =
e x'' = – S = { 2,
, – }
R07 — (ITA-SP) Os números a, b, c são raízes da equação x3 – 2x2 + 3x – 4 = 0. Nestas condições calcule 1/a + 1/b + 1/c.
Como 1/a + 1/b + 1/c pode ser escrita na forma:
Pelas relações de Girard tem-se:
ab . ac . bc = 3 / 1 = 3
a . b . c = – (– 4) / 1 = 4
Então: 1/a + 1/b + 1/c = 3/4.
Pelas relações de Girard tem-se:
ab . ac . bc = 3 / 1 = 3
a . b . c = – (– 4) / 1 = 4
Então: 1/a + 1/b + 1/c = 3/4.
R08 — Sabendo que a equação x3 – 7x2 + 15x – 9 = 0 admite raiz dupla, determine todas as suas raízes.
Considerando as raízes a, b, c com b = a ( raiz dupla ).
Pelas relações de Girard:
a + b + c = – (– 7) / 1 = 7
a + a + b = 7
2a + c = 7
c = 7 – 2a
a . b + a . c + b . c = 15 / 1
a . a + a . c + a . c = 15
a2 + 2ac = 15
a2 + 2a (7 – 2a) = 15
a2 + 14a – 4a2 = 15
3a2 – 14a + 15 = 0
= (– 14)2 – 4 . 3 . 15 = 196 – 180 = 16
a' = (14 + 4) / 6 = 3
a'' = (14 – 4) / 6 = 5/3.
Como c = 7 – 2a, tem-se:
Para a = 3
c = 7 – 2 . 3 = 1
Para a = 5/3
c = 7 – 2 . 5/3 = 21/3 – 10/3 = 11/3
Pela 3ª relação de Girard, tem-se:
a . b. c = – (– 9) / 1
a2 . c = 9
Para a = 3 tem-se:
32 . c = 9
c = 1.
Para a = 5/3 tem-se:
(5/3)2 . c = 9
c = 81/25 ( não serve, pois é diferente de 11/3 )
As raízes são 3, 3 e 1.
Pelas relações de Girard:
a + b + c = – (– 7) / 1 = 7
a + a + b = 7
2a + c = 7
c = 7 – 2a
a . b + a . c + b . c = 15 / 1
a . a + a . c + a . c = 15
a2 + 2ac = 15
a2 + 2a (7 – 2a) = 15
a2 + 14a – 4a2 = 15
3a2 – 14a + 15 = 0
= (– 14)2 – 4 . 3 . 15 = 196 – 180 = 16a' = (14 + 4) / 6 = 3
a'' = (14 – 4) / 6 = 5/3.
Como c = 7 – 2a, tem-se:
Para a = 3
c = 7 – 2 . 3 = 1
Para a = 5/3
c = 7 – 2 . 5/3 = 21/3 – 10/3 = 11/3
Pela 3ª relação de Girard, tem-se:
a . b. c = – (– 9) / 1
a2 . c = 9
Para a = 3 tem-se:
32 . c = 9
c = 1.
Para a = 5/3 tem-se:
(5/3)2 . c = 9
c = 81/25 ( não serve, pois é diferente de 11/3 )
As raízes são 3, 3 e 1.
R09 — Resolva a equação 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0.
Trata-se de uma equação polinomial recíproca de grau ímpar e de 1ª espécie, logo – 1 é uma raiz.
Utilizando o processo prático de Briot-Ruffini tem-se:
– 1 | 2 – 3 – 3 2
| 2 – 5 2 | 0
A equação 2x2 – 5x + 2 = 0, é uma equação recíproca de grau par de 1ª espécie.
Como o termo central não é nulo, nada se pode afirmar sobre suas raízes.
Então, terá que ser resolvida pela regra de Bhaskara:
= (– 5)2 – 4 . 2 . 2 = 25 – 16 = 9
Daí, x' = (5 + 3) / 4 = 2 e x'' = (5 – 3) / 4 = 1/2.
S = { – 1, 2, 1/2 }.
Utilizando o processo prático de Briot-Ruffini tem-se:
– 1 | 2 – 3 – 3 2
| 2 – 5 2 | 0
A equação 2x2 – 5x + 2 = 0, é uma equação recíproca de grau par de 1ª espécie.
Como o termo central não é nulo, nada se pode afirmar sobre suas raízes.
Então, terá que ser resolvida pela regra de Bhaskara:
= (– 5)2 – 4 . 2 . 2 = 25 – 16 = 9Daí, x' = (5 + 3) / 4 = 2 e x'' = (5 – 3) / 4 = 1/2.
S = { – 1, 2, 1/2 }.
R10 — Resolva a equação 3x4 – 10x3 + 10x – 3 = 0.
Trata-se de uma equação recíproca de grau par e de 2a espécie, logo – 1 e 1 são raízes.
Utilizando o processo prático de Briot-Ruffini para raiz – 1, tem-se:
– 1 | 3 – 10 0 10 – 3
| 3 – 13 13 – 3 | 0
Para a raiz 1, tem-se:
1 | 3 – 13 13 – 3
| 3 – 10 3 | 0
Resolvendo a equação 3x2 – 10x + 3 = 0
= (– 10)2 – 4 . 3 . 3 = 100 – 36 = 64
Daí, x' = (10 + 8) / 6 = 3 e x'' = (10 – 8) / 6 = 1/3.
S = { – 1, 1, 3, 1/3 }.
Utilizando o processo prático de Briot-Ruffini para raiz – 1, tem-se:
– 1 | 3 – 10 0 10 – 3
| 3 – 13 13 – 3 | 0
Para a raiz 1, tem-se:
1 | 3 – 13 13 – 3
| 3 – 10 3 | 0
Resolvendo a equação 3x2 – 10x + 3 = 0
= (– 10)2 – 4 . 3 . 3 = 100 – 36 = 64Daí, x' = (10 + 8) / 6 = 3 e x'' = (10 – 8) / 6 = 1/3.
S = { – 1, 1, 3, 1/3 }.
R11 — (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, em que "m" e "n" são reais, admite 1 + i como raiz.
Então "m" e "n" valem, respectivamente:
a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 0 e 2 d) 2 e – 2 e) – 2 e 0.
Então "m" e "n" valem, respectivamente:
a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 0 e 2 d) 2 e – 2 e) – 2 e 0.
Se 1 + i é raiz então p(1 + i) = 0
(1 + i)3 + m . (1 + i)2 + 2 . (1 + i) + n = 0
13 + 3 . 12 . i + 3 . 1 . i2 + i3 + m . (12 + 2i + i2) + 2 + 2i + n = 0
1 + 3i – 3 – i + m . (1 + 2i – 1) + 2 + 2i + n = 0
1 – 3 + 2 + n + 3i – i + 2i + 2i m = 0
2i m + n + 4i = 0 (I)
Como 1 – i também é raiz, então p(1 – i) = 0
(1 – i)3 + m . (1 – i)2 + 2 . (1 – i) + n = 0
13 – 3 . 12 . i + 3 . 1 . i2 – i3 + m . (12 – 2i + i2) + 2 – 2i + n = 0
1 – 3i – 3 + i + m . (1 – 2i – 1) + 2 – 2i + n = 0
1 – 3 + 2 + n – 3i + i – 2i – 2i m = 0
– 2i m + n – 4i = 0 (II)
Em (II) que é: – 2i m + n – 4i = 0 tem-se que n = 2i m + 4i
Substituindo o valor de "n" em (I) tem-se:
2i m + 2i m + 4i + 4i = 0
4i m = – 8i
m = – 2.
n = 2i . (– 2) + 4i = 0
Alternativa "e".
(1 + i)3 + m . (1 + i)2 + 2 . (1 + i) + n = 0
13 + 3 . 12 . i + 3 . 1 . i2 + i3 + m . (12 + 2i + i2) + 2 + 2i + n = 0
1 + 3i – 3 – i + m . (1 + 2i – 1) + 2 + 2i + n = 0
1 – 3 + 2 + n + 3i – i + 2i + 2i m = 0
2i m + n + 4i = 0 (I)
Como 1 – i também é raiz, então p(1 – i) = 0
(1 – i)3 + m . (1 – i)2 + 2 . (1 – i) + n = 0
13 – 3 . 12 . i + 3 . 1 . i2 – i3 + m . (12 – 2i + i2) + 2 – 2i + n = 0
1 – 3i – 3 + i + m . (1 – 2i – 1) + 2 – 2i + n = 0
1 – 3 + 2 + n – 3i + i – 2i – 2i m = 0
– 2i m + n – 4i = 0 (II)
Em (II) que é: – 2i m + n – 4i = 0 tem-se que n = 2i m + 4i
Substituindo o valor de "n" em (I) tem-se:
2i m + 2i m + 4i + 4i = 0
4i m = – 8i
m = – 2.
n = 2i . (– 2) + 4i = 0
Alternativa "e".
Exercícios Propostos
P01 — Determine o valor do coeficiente "K", sabendo que 2 é a raiz da equação: 2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0.
P02 — Verifique se x = 3 é raiz da equação x3 – x2 + 2x – 4 = 0.
P03 — Escreva a equação polinomial do 3º grau onde 3, –2 e 5, são as raízes.
P04 — Qual a soma das raízes da equação 5x3 + 4x2 + 1 = 0.
P05 — (UFRJ) Determine todas as raízes de x3 + 2x2 – 1 = 0.
P06 — (PUC-RJ) Quais as soluções de x(x2 – 4x + 4) = 1?
P07 — De acordo com a equação 4x3 + 2x2 – x – 3 = 0, determine as relações de Girard envolvendo as raízes x1, x2, x3.
P08 — Calcule o valor de "k" na equação (k + 5)x2 – 10x + 3 = 0 de modo que o produto das raízes seja 3/8.
P09 — (UFMG) Os números a, b, c são raízes da equação x3 + x – 1 = 0. Nestas condições calcule o valor de log(1/a + 1/b + 1/c).
P10 — Sabendo que a equação x3+px2 + qx + 8 = 0 admite raiz tripla, determine p e q.
P11 — (UFPE-2004) Sejam x1, x2 e x3 as raízes da equação x3 – 6x2 + 3x – 1 = 0. Determine o polinômio x3 + ax2 + bx + c que tem raízes x1 . x2, x1 . x3 e x2 . x3 e indique o valor do produto abc.
P12 — (FUVEST-2002) As raízes do polinômio p(x) = x3 – 3x2 + m, onde "m" é um número real, estão em progressão aritmética. Determine:
a) O valor de m b) As raízes desse polinômio
a) O valor de m b) As raízes desse polinômio
P13 — Dê o conjunto-solução da equação 6x3 – 19x2 + 19x – 6 = 0.
P14 — (ITA-1999) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2ª espécie e admite i como raiz. Se p(2) = –105/8 e p(– 2) = 255/8, então a soma de todas as raízes de p(x) é igual a:
a) 10 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1
a) 10 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1
P15 — Resolva a equação: 3x4 – 9x3 – 9 + 3 = 0.
fonte:hpdemat.apphb.com
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