Sistema de equação

Equações do 1º grau com uma variável

Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Exemplo:X + 3 = 12 – 4

Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a 0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau)

Exemplos:

x - 4 = 2 + 7, (variável x)
2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m)
-2r + 3 = 31, (variável r)
5t + 3 = 2t – 1 , (variável t)
3(b – 2) = 3 + b,(variável b)
4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau)
3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º grau)

Obs:

Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.

Veja:


Conjunto Universo:Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Representamos pela letra U.

Conjunto Solução:Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença verdadeira. Representamos pela letra S.

Exemplo:

Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática
2x – 4 = 2, verdadeira.

2(0) – 4 = 2 Errado

2(2) – 4 = 2 Errado

2(3) – 4 = 2 Verdadeiro

2(6) – 4 = 2 Errado

2(8) – 4 = 2 Errado

2(9) – 4 = 2 Errado

Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

Sistemas de Equações do 1º Grau

SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo, significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema. Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição, substituição e comparação.

Exercícios Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.

2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.

3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.

4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.

5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.

1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x



y

4


0

0


4





Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.



Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

x + y = 25 (total de arremessos certo)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações.



Costuma-se indicar o sistema usando chave.



O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema.

Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.



Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:



Método de substituição



Solução

· determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

· Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

· Resolvemos a equação formada.

8 - 2y - 3y = 3

-2y - 3y = 3

-5y = 5 (-1)

5y = -5

y = 5/3

y = 1

· Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3

· A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}



Método da adição

Sendo U = Q x Q, observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:







Solução

· Adicionamos membros a membros as equações:




2x = 16

x = 16/2

x = 8

· Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
V = {(8, 2)}