TAUTOLOGIA E CONTRA -TAUTOLOGIA

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Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br

TAUTOLOGIA E CONTRA -TAUTOLOGIA

· TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA : Fórmula que possui apenas valor V em sua tabela verdade. Exemplo : p Ú~ p

	p	~ p	p Ú ~ p
1	V	F	V
2	F	V	V

· CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA: Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade. Exemplo : p Ù ~ p

	p	~ p	p Ù ~ p
1	V	F	F
2	F	V	F

· CONTINGENTE ou INDETERMINADA: Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade.
Exemplo : p ® q

	p	q	p ® q
1	V	V	V
2	V	F	F
3	F	V	V
4	F	F	V

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· REGRAS DE INFERÊNCIA.: A fórmula a implica tautologicamente a fórmula b e indicamos a Þ bse e somente se a fórmula a®bé uma tautologia .

Regras		Fórmulas Atômicas	Fórmulas Compostas
Modus Ponens	MP	p Ù (p ® q) Þ q	A, A® B / B
Modus Tollens	MT	~ q Ù ( p ® q ) Þ ~ p	~ B, A® B / ~ A
Silogismo Hipotético	SH	(p® q) Ù ( q ® r) Þ (p ® r)	A ® B, B ® C / A ® C
Silogismo Disjuntivo	SD	(p Ú q) Ù ~ p Þ q	~ A, A Ú B / B
Simplificação	SM	p Ù q Þ p	A Ù B / A
Adição	AD	p Þ p Ú q	A / A Ú B
Eliminação	EL	(p ® (q Ú r) ) Ù~ q Þ p ®r	~ B , (A ® (BÚ C) / A ® C
Prova por Casos	CS	(p ® r) Ù ( q ® r) Þ (p Ú q) ® r	A ® C, B ® C / (A Ú B ) ® C

· EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS : As fórmulas a e b são tautologicamente equivalentes e indicamos aÛbse e somente se a fórmula a«bé uma tautologia

Comutativa	p Ù q Û q Ù p	p Ú q Û q Ú p
Associativa	(p Ù q)Ù r Û p Ù (q Ù r)	(p Ú q)Ú r Û pÚ (qÚ r)
Idempotente	p Ù p Û p	p Ú p Û p
Propriedades de V	p Ù V Û p	p Ú V Û V
Propriedades de F	p Ù F Û F	p Ú F Û p
Absorção	p Ù ( p Ú r ) Û p	p Ú (p Ù r) Û p
Distributivas	p Ù (q Ú r) Û (p Ù q ) Ú (p Ù r)	p Ú (q Ù r) Û (p Ú q ) Ù (p Ú r)
Distributivas	p ® (q Ù r) Û (p® q) Ù (p ® r)	p ® (q Ú r) Û (p® q) Ú (p ® r)
Leis de De Morgan	~ (p Ù q) Û~ p Ú ~ q	~ (p Ú q) Û~ p Ù ~ q
Def. implicação	p ® q Û ~p Ú q	p ® q Û ~ ( p Ù~ q)
Def. bicondicional	p « q Û (p ® q) Ù ( q ® p)	p « q Û (~p Ú q) Ù (~q Úp)
Negação	~ (~ p) Û p
Contraposição	p ® q Û ~ q ®~ p
Exportação(Þ )	Importação (Ü )	(p Ù q) ® r Û p ® ( q ® r )
Troca de Premissas	p ® (q ® r ) Û q ® ( p ®r )

Exemplo : Dadas as fórmulas A: p ® (q Ù r) e B : ~(q Ù r ) ®~ p vamos verificar que A Þ B ou ainda que A / B. Basta verificar, com o uso das tabelas verdade, que A ® B é tautologia.
p q r ( p ® (q Ù r)) ®(~ (q Ù r ) ® ~ p)

V	V	V	V	V	V
V	V	F	F	V	F
V	F	V	F	V	F
V	F	F	F	V	F
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V

Neste exemplo, A Û B pois A « B é tautologia.
As TAUTOLOGIAS são infinitas e desempenham um importante papel nos processos de dedução no Cálculo Proposicional como veremos em próximos tópicos.

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FORMAS NORMAIS CONJUNTIVA E DISJUNTIVA
Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS dadas acima nos permitem transformar qualquer fórmula em uma fórmula logicamente equivalente, que não contenha os conectivos ®e « , transformando-a em uma FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) como segue:
1. substitui-se fórmulas: A® B por ~A Ú B e A « B por (~ A Ú B) Ù (~ B Ú A)
2. elimina-se a negação que precede os parênteses substituindo-se:
~(A Ù B) por ~A Ú~ B e ~(AÚ B) por ~A Ù~ B .
3. eliminam-se as negações múltiplas substituindo ~(~ A) por A.
4. elimina-se o alcance dos conectivos substituindo
para obter a FNC : A Ú (B Ù C) por (A Ú B) Ù (A Ú C)
para obter a FND : A Ù (B Ú C) por (A Ù B) Ú (A Ù C)
Deste modo, uma fórmula está em FORMA NORMAL CONJUNTIVA: FNC ou em FORMA NORMAL DISJUNTIVA: FND se, e somente se:
1. No máximo contém os conectivos~, Ù , Ú.
2. A negação ~ não tem alcance sobre os conectivos Ù e Ú .
3. Não aparecem negações sucessivas.
4. O conectivo Ú não tem alcance sobre Ù na FNC e, o conectivo Ù não tem alcance sobre Ú na FND.
Exemplos: FNC : (~ p Ú q) Ù (r Ú s Ú p)
FND : p Ú (q Ù r) Ú (~ s Ù p)
Exemplo: Determine uma FND e uma FNC equivalente à fórmula
((p Ú q) Ù~ q) ® ( r Ù q) .

1.	((p Ú q) Ù ~ q) ® ( r Ù q)	Fórmula dada
2.	~ ((p Ú q) Ù~ q) Ú ( r Ù q)	1. Def. de Implicação
3.	(~ (p Ú q) Ú~~ q) Ú (r Ù q)	2. De Morgan
4.	(~ p Ù ~ q) Ú q Ú (r Ù q )	3. Negação e De Morgan
5.	(~ p Ù ~ q) Ú q Ú (r Ù q )	4.FND
6.	((~ p Ú q) Ù (~ q Ú q)) Ú (r Ù q)	5. Distributiva
7.	((~ p Ú q) Ù V) Ú (r Ù q)	6. Tautologia
8.	(~ p Ú q) Ú ( r Ù q)	7. Propriedade de V
9.	(~ p Ú q Ú r) Ù (~ p Ú q Ú q)	8. Distributiva
10.	(~ p Ú q Ú r) Ù (~ p Ú q )	9. Idempotente e FNC

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PROBLEMA DE POST
Como já observamos podemos construir a tabela verdade de uma fórmula conhecidos os valores verdade das fórmulas que a compõem. O problema recíproco se coloca : para toda tabela verdade, existe uma fórmula que a determina? Este problema é conhecido como PROBLEMA DE POST (Emil Leon Post 1888-1995) e pode ser resolvido obtendo-se uma FNC ou uma FND que satisfaça a tabela verdade dada.
· Para se obter uma FND:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem V na última coluna;
2. Construimos para cada uma destas linhas as conjunções correspondentes;
3. Fazemos a disjunção destas conjunções obtendo uma fórmula em FND que satisfaz a tabela verdade.
Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo:
p q ?

V	V	V	(p Ù q)
V	F	F
F	V	F
F	F	V	(~ p Ù ~ q)

Resposta: Fórmula obtida (p Ù q) Ú (~ p Ù~ q) FND
· Para se obter uma FNC:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F na última coluna;
2. Construimos para cada uma destas linhas as disjunções correspondentes;
3. Fazemos a conjunção destas disjunções obtendo uma fórmula em FNC que satisfaz a tabela verdade.
Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo:
p q ?

V	V	V
V	F	F	~ p Ú q
F	V	F	p Ú ~ q
F	F	V

Resposta: Fórmula obtida (~ p Ú q) Ù (p Ú ~ q) FNC
As FND e FNC obtidas como acima são completas ou seja, em cada disjuncto (FND) ou em cada conjuncto (FNC) todas as variáveis proposicionais estão presentes.

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CELINA ABAR