Interpolação de meios aritméticos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com

 www.accbarrosogestar.wordpress.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Interpolação de meios aritméticos

Marcelo Rigonatto

Progressão aritmética

As progressões apresentam aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, sendo fundamentais para compreensão de vários fenômenos da natureza e também sociais. A progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando o termo anterior a uma constante r, denominada de razão.

Interpolar significa “colocar entre”. Interpolar meios aritméticos entre dois números dados é acrescentar números entre estes que são conhecidos, de forma que a sequência numérica formada seja uma P.A. Para realizar a interpolação aritmética é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.A.

a_n = a₁ + (n-1)∙r

Onde,

r → é a razão da P.A.
a₁ → é o primeiro termo da P.A.
n → é o número de termos da P.A.
a_n → é o último termo da P.A.

Vejamos alguns exemplos sobre interpolação aritmética.

Exemplo 1. Interpole 7 meios aritméticos entre 6 e 46.

Solução: Interpolar 7 meios aritméticos entre 6 e 46 é acrescentar 7 números entre 6 e 46 para que a sequência formada seja uma P.A.

(6, _, _, _, _, _, _, _, 46)

Note que teremos uma P.A. com 9 termos em que o primeiro termo é 6 e o último é 46. Assim, segue que:

a₁ = 6
n = 9
a₉ = 46

Para determinarmos os termos que deverão ficar entre 6 e 46 é necessário determinar a razão da P.A. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral.

Encontrado o valor da razão, fica fácil determinar os demais elementos da sequência.

a₂ = a₁ + r = 6 + 5 = 11
a₃ = a₂ + r = 11 + 5 = 16
a₄ = a₃ + r = 16 + 5 = 21
a₅ = a₄ + r = 21 + 5 = 26
a₆ = a₅ + r = 26 + 5 = 31
a₇ = a₆ + r = 31 + 5 = 36
a₈ = a₇ + r = 36 + 5 = 41

Dessa forma, está completa a interpolação dos 7 meios aritméticos entre 6 e 46, formando a seguinte P.A:

(6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46)

Exemplo 2. Numa progressão aritmética, a₁ = 120 e a₁₁ = 10. Determine os meios aritméticos existentes entre a₁ e a₁₁.

Solução: Devemos obter os números existentes entre 120 e 10 para que a sequência obtida seja uma P.A.

(120, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 10)

Precisamos conhecer a razão dessa P.A.

Temos:

a₁ = 120
a₁₁ = 10
n = 11

Segue que:

Conhecido o valor da razão, basta determinar os demais termos da sequência:

a₂ = a₁ + r = 120 + (– 11) = 120 – 11 = 109
a₃ = a₂ + r = 109 + (– 11) = 109 – 11 = 98
a₄ = a₃ + r = 98 – 11 = 87
a₅ = a₄ + r = 87 – 11 = 76
a₆ = a₅ + r = 76 – 11 = 65
a₇ = a₆ + r = 65 – 11 = 54
a₈ = a₇ + r = 54 – 11 = 43
a₉ = a₈ + r = 43 – 11 = 32
a₁₀ = a₉ + r = 32 – 11 = 21

Portanto, obtemos a P.A:

(120, 109, 98, 87, 76, 65, 54, 43, 32, 21, 10)